Найти распределение инвестиций между предприятиями

Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия

Достаточно простая задача из цикла дисциплин «Методы принятия оптимальных решений» или «Исследование операций». В разных ВУЗ’ах это может называться по-разному, но суть от этого не меняется. Давайте разберёмся с данными задачами без длинных и непонятных формул на практическом примере.

Условие задания

Всегда представляется в виде таблицы, наподобие продемонстрированной ниже.

В первом столбце показаны различные варианты объёмов инвестиций, которые нужно распределить между «энным» количеством предприятий. В данном случае у нас четыре предприятия. Со второго по пятый столбец клетки заполняются данными об отдаче, то есть, какой прирост продукции нами будет получен при том или ином инвестировании.

Естественно, условие будет требовать наиболее выгодного распределения, то есть, как нам распределить 250 млн. р., чтобы отдача была на максимум.

Например, мы можем вложить по 50 миллионов в три завода, а четвёртому предприятию дать 100 миллионов инвестиций. Возможно, выгоднее будет дать 200 миллионов третьему заводу, а первому 50 и тем самым достичь максимальной отдачи. То есть, с первого взгляда непонятно, сколько денег и куда направить. Путём перебора всех возможных вариантов, мы это выясним.

Алгоритм решения

В учебниках эти задачи решаются долго и в четыре этапа, два из которых полностью дублируют действия предыдущих шагов и теряют наше время. Мы всё решим в два шага, и будем надеяться, принцип вы усвоите. Есть следующие условия.

Первый этап

Сначала мы проверим, какую отдачу можно получить, распределяя инвестиции только между первым и вторым предприятием.

f2(50) = max (8; 10) = 10

f2(100) = max (13; 12; 8+10) = 18

Вторая запись означает, что мы можем отдать 100 миллионов либо первому, либо второму предприятию, а можем дать по пятьдесят и тому, и другому.

Распределяю наши средства, мы получаем большую отдачу, чем отдавая всё кому-то одному. Идём далее.

f2(150) = max (22; 21; 8+12; 13+10) = 18

Смысл тот же самый. Всё одному или разбиваем по разным направлениям.

f2(200) = max (31; 38; 21+10; 21+8) = 38

Тут уже выгоднее отдать 200 миллионов лишь второму цеху. Дробить бессмысленно.

f2(250) = max (39; 40; 13+21; 22+12; 8+38; 31+10) = 46

А здесь выгодно дать 200 млн второму предприятию и ещё 50 – первому.

Из всех наших вычислений следует, что самым выгодным вариантом при инвестировании только в первые два завода является последняя альтернатива. Так наша отдача достигает максимума.

Второй этап

Посчитаем, каковы максимальные выгоды от инвестиций в третье и четвертое предприятие. С тем, как строятся вычисления, вы разобрались, поэтому можете сверяться с тем, что описано ниже.

f3(50) = max (7; 10) = 10

f3(100) = max (14; 13; 7+10) = 17

f3(150) = max (22; 23; 14+10; 7+13) = 24

f3(200) = max (29; 30; 7+23; 22+10; 14+13) = 32

f3(250) = max (38; 41; 22+13; 14+23; 7+30; 29+10) = 39

Итак, выгодны 200 млн для третьего завода и 50 для четвертого.

Теперь сравним, что будет, если мы дадим инвестиции 4-ому предприятию или разделим их в соответствие с предыдущими «шагами» — нашими посчитанными f.

f3(250) = max (41; 13+24; 23+17; 10+32; 7+30; 29+10) = 42.

Наиболее благоприятный исход для инвестора – это выделить 50 млн для 1-ого предприятия и 200 млн для 2-ого.

29.2.3. Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, при­надлежащих фирме.

Для расширения производства совет директоров выделя­ет средства в объеме 120 млн р. с дискретностью 20 млн р. Прирост выпуска продукции на предприятиях зависит от вы­деленной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в табл. 29.3.

Найти распределение средств между предприятиями, обес­печивающее максимальный прирост выпуска продукции, при­чем на одно предприятие можно осуществить не более одной инвестиции.

Решение. Разобьем решение задачи на четыре этапа по количеству предприятий, на которых предполагается осущест­вить инвестиции.

Рекуррентные соотношения будут иметь вид:

Для предприятия № 1

Для всех остальных предприятий

Решение будем проводить согласно рекуррентным соотно­шениям в четыре этапа.

1-й этап. Инвестиции производим только первому пред­приятию. Тогда

2-й этап. Инвестиции выделяем первому и второму пред­приятиям. Рекуррентное соотношение для 2-го этапа имеет вид

При Х = 20 F2(20) = max (8 + 0,0 + 10) = max (8, 10) = 10,

При X = 40 F2(40) = max (16,8 + 10,20) = max (16, 18, 20) =20,

При Х = 60 F2(60) = max (25,16 + 10, 8 + 20,28) = max (25,26, 28,28) =28,

При Х = 80 F2(80) = max (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = max (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

При Х = 100 F2(100) = max (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = max (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

При Х = 120 F2(120) = max (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = max (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3-й этап. Финансируем 2-й этап и третье предприятие. Расчеты проводим по формуле

При Х = 20 F3(20) = mах (10, 12) = 12,

При X = 40 F3(40) = max (20,10 + 12,21) = max (20, 22, 21) = 22,

При Х = 60 F3(60) = max (28,20 + 12,10 + 21,27) = max (28, 32, 31, 27) = 32,

При Х = 80 F3(80) = max (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = max (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

При X = 100 F3(100) = max (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = max (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

При Х = 120 F3(120) = max (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = max (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4-й этап. Инвестиции в объеме 120 млн р. распределяем между 3-м этапом и четвертым предприятием.

При Х = 120 F4(120) = max (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = max (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Получены условия управления от 1-го до 4-го этапа. Вер­немся от 4-го к 1-му этапу. Максимальный прирост выпус­ка продукции в 64 млн р. получен на 4-м этапе как 41 + 23, т. е. 23 млн р. соответствуют выделению 40 млн р. четвертому предприятию (см. табл. 29.3). Согласно 3-му этапу 41 млн р. получен как 20 + 21, т. е. 21 млн р. соответствует выделеник 40 млн р. третьему предприятию. Согласно 2-этапу 20 млн р. получено при выделении 40 млн р. второму предприятию.

Таким образом, инвестиции в объеме 120 млн р. целесообразно выделить второму, третьему и четвертому предприятиям по 40 млн р. каждому, при этом прирост продукции будет максимальным и составит 64 млн р.

4. Распределение средств между предприятиями методом динамического программирования

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

Модели динамического программирования могут применяться, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

Динамическое программирование часто помогает решить задачу, переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с «оглядкой на будущее», на последствия принимаемого «шагового» решения. Оно должно обеспечить максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности шагов, входящих в операцию.

Для составления математической модели исходим из предположений:

прибыль от каждого предприятия (проекта) не зависит от вложения средств в другие предприятия; прибыль от каждого предприятия (проекта) выражается в одних условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия (проекта). Данная постановка является упрощенной моделью реального процесса распределения инвестиций, и в «чистом» виде не встречается, так как не учитывает некоторые факторы, а именно:

наличие «неформальных» критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет; уровень риска проектов; другие факторы.

В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.

Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.

На каждом шаге любого состояния системы решение нужно выбирать «с оглядкой», так как этот выбор влияет на последующее состояние и дальнейший процесс управления, зависящий от . Это следует из принципа оптимальности.

Но есть один шаг, последний, который можно для любого состояния планировать локально оптимально, исходя только из соображений этого шага.

Рассмотрим n-й шаг: — состояние системы к началу n-го шага, — конечное состояние, — управление на n-м шаге, — целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Показатель эффективности n — ого шага .

Агрегированный показатель эффективности (n-1) — ого шага . Агрегированный показатель эффективности первого шага .

В результате будут найдены следующие последовательности значений:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение модели ДП и применение метода ДП решения сводится к следующим моментам:

1. Выбирают способ деления процесса управления на шаги.

2. Определяют параметры состояния и переменные управления на каждом шаге.

3. Записывают уравнения состояний.

4. Вводят целевые функции k-го шага и суммарную целевую функцию.

5. Вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) и условное оптимальное управление на k-м шаге: (в случае использования обратной схемы Беллмана);

6. Записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения Беллмана для и .

7. Решают последовательно уравнения Беллмана (условная оптимизация) и получают две последовательности функций: и .

8. После выполнения условной оптимизации получают оптимальное решение для конкретного начального состояния s0: и по цепочке ; оптимальное управление: .

Решение задачи динамического программирования

Прибыли предприятий при различных объемах выделенных финансовых средств представлены в таблице № 26:

Таблица 26. Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных средств.

Источники: http://reshatel.org/reshenie-zadach/raspredelenie-investitsij/, http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/29-2-3-raspredelenie-investitcii-dlia-effektivnogo-ispolzovaniia-potentciala-predpriiatiia, http://em.bobrodobro.ru/5130

Источник: invest-4you.ru