Вероятность распределения риска от инвестиций

Распределения вероятностей и среднее ожидаемое значение

Риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако, надо помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Рассмотрим пример инвестирования $100 тысяч сроком на один год, альтернативные варианты которого приведены в табл.3.3 [37].

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Доходность инвестиций при данном состоянии экономики, %

Корпоративные ценные бумаги

Во-первых, это облигации федерального займа (ОФЗ) со сроком погашения один год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т. е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номинальная стоимость.

При этом доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рассматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10% доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет собой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются по номиналу с купонной ставкой 9% (т. е. на $100 тысяч вложенного капитала можно получать $9000 годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако Вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая доходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае экономического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений №1, чистая стоимость которого составляет $100 тысяч. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуществляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

В-четвертых, альтернативный проект капиталовложений №2, совпадающий по всем параметрам с проектом №1 и отличающийся от него лишь распределением вероятностей ожидаемых в конце года выплат.

Дискретные распределения вероятностей в графической форме столбиковых диаграмм (гистограмм) для проектов №1 и №2 приведены на рис.3.2 [37].

Возможные значения доходности проекта №1 принадлежат промежутку от -3,0% до +19,0%, а проекта №2 — от -2,0% до +26,0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1,0. Отметим также, что распределение значений доходности проекта №2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта №1 имеет левостороннюю асимметрию.

Рис. 3.2. Графическое представление дискретного распределения вероятностей. а — проект № 1; б — проект №2.

При этом под распределением вероятностей понимается множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей) [16].

Возможные значения доходности проекта №1 принадлежат промежутку от -3,0% до +19,0%, а проекта №2 — от -2,0% до +26,0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1,0. Отметим также, что распределение значений доходности проекта №2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта №1 имеет левостороннюю асимметрию.

При этом под распределением вероятностей понимается множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей) [16].

Несмотря на то, что доходность по ОФЗ точно известна (составляет 8%) и не зависит от состояния экономики, безоговорочно считать риск по ОФЗ равным нулю нельзя.

Инвестиции в ОФЗ являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. В то же время реальная доходность ОФЗ подвержена риску, поскольку зависит от фактических темпов роста инфляции в течение периода обращения данной ценной бумагой. Более того, ОФЗ характеризуются риском для инвестора, который обладая портфелем ценных бумаг стремится к получению непрерывного дохода. Дело в том, что, когда истекает срок платежа по ОФЗ, и у инвестора возникает необходимость осуществить реинвестирование денежных средств, а процентные ставки по ОФЗ снижаются, то доход инвестора по портфелю также уменьшается. Подобные риски носят название риска нормы реинвестирования.

Инвестору также необходимо учитывать, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность, остающаяся в его распоряжении после уплаты налогов. Поэтому, принимая управленческое решение, инвестор должен ориентироваться на доходность, остающуюся после вычета налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенностью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов. Так, в табл.3.3 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1,0, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0,5.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сложить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются внутренние нормы доходности (Internal Rate of Retum- IRR), ожидаемое значение — это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return — ERR), которую можно представить в следующем виде [37]:

где i-номер возможного исхода;

п — число возможных исходов;

Pi — вероятность появления i-ro исхода;

IRRi, — внутренняя норма доходности i-ro возможного исхода.

Используя формулу (3.1), найдем, что ожидаемая норма доходности по каждому из вариантов инвестирования. Например, для проекта №2 доходность равна:

Результаты расчета ожидаемых доходностей для каждого из альтернативных вариантов инвестиционных вложений, осуществленных по аналогии с использованием формулы (3.1) представлены в нижней строке табл.3.3.

Таким образом, использование ожидаемого значения в качестве критерия риска обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты. В частности, этот критерий можно количественно выразить в денежных единицах или в единицах полезности денег. Для пояснения разницы между непосредственно деньгами и их полезностью предположим, что инвестиции в 2 млн. руб. дают с равными вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 5 млн. руб. В денежных единицах ожидаемый чистый доход составит:

Подобное вложение денег, на первый взгляд, представляется оправданным. Однако такое решение приемлемо не для всех ЛПР.

Например, для предпринимателя А как ЛПР, имеющего ограниченные ресурсы, потеря 2 млн. руб. может привести к банкротству. А ЛПР В, капитал которого значительно превосходит данную сумму, напротив может позволит себе пойти на такой риск. Следовательно, нецелесообразно использовать ожидаемое значение стоимостного выражения в качестве единственного критерия для принятия решений. Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято ЛПР лишь на основе всех существенных факторов, его отношения к полезности денег.

Необходимо также отметить, что использование критерия ожидаемого значения целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Иными словами, ориентация на ожидаемую доходность может приводить к неверным результатам для тех решений, которые приходится принимать эпизодически.

Распределение вероятности ожидаемых доходов по двум инвестиционным проектам

Инвестиционный проект „А»

Инвестиционный проект „Б»

Сумма ожидаемых доходов, усл. ден. ед. (2×3)

Расчетный доход, усл. ден. ед.

Сумма ожидаемых доходов, усл. ден. ед. (2×3)

Сравнивая данные по отдельным инвестиционным про­ектам, можно увидеть, что расчетные величины доходов по проекту „А» колеблются в пределах от 200 до 600 усл. ден, ед. при сумме ожидаемых доходов в целом 450 усл. ден. ед. По проекту „Б» сумма ожидаемых доходов в целом так­же составляет 450 усл. ден. ед.. однако их колеблемость осуществляется 6 диапазоне от 100 до 800 уел ден. ед

Даже такое простое сопоставление позволяет сделать вы­вод о том, что риск реализации инвестиционного проекта „А» значительно меньше, чем проекта „Б», где колеблемость расчетного дохода выше.

Более наглядное представление об уровне риска дают результаты расчета среднеквадратического (стандартно­го) отклонения, представленные 8 табл. 3.3.

Расчет среднеквадратического (стандартного) отклонения по двум инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что среднеквад-ратическое (стандартное) отклонение по инвестиционно­му проекту „А» составляет 150, В то Время как по инвести­ционному проекту „Б» — 221, что свидетельствует о большем уровне его риска.

Рассчитанные показатели среднеквадратического (стандартного) отклонения по рассматриваемым инвести­ционным проектам могут быть интерпретированы графи­чески (рис. 3.1.)

Из графика Видно, что распределение вероятностей проектов „А» и „Б» имеют одинаковую величину расчетного дохода, однако в проекте „А» кривая уже, что свидетель-

ствует о меньшей колеблемости Вариантов расчетного дохода относительно средней его Величины В, а следова­тельно и о меньшем уровне риска этого проекта,

г) Коэффициент Вариации. Он позволяет определить уровень риска, если показатели среднего ожидаемого дохода от осуществле­ния финансовых операций различаются между собой. Расчет коэф­фициента вариации осуществляется по следующей формуле:

где —коэффициент вариации;

—среднеквадратическое (стандартное) отклонение;

—среднее ожидаемое значение дохода по рас­сматриваемой финансовой операции.

Пример: Необходимо рассчитать коэффициент вари­ации по трем инвестиционным проектам при различных зна­чениях среднеквадратического (стандартного) отклонения и среднего ожидаемого значения дохода по ним. Исходные данные и результаты расчета приведены В табл. 3.4.

Результаты расчета показывают, что наименьшее значение коэффициента вариации — по проекту „А», а наи­большее — по проекту „В». Таким образом, хотя ожидае­мый доход по проекту „В» на 33% выше, чем по проекту ,.А»

Вероятностная оценка степени финансового риска

Остановимся на вероятностной оценке степени финансового риска.

Рассмотрим некоторую компанию А. Предположим, что мы покупаем акции этой компании по цене 100 у.е. за акцию и наме­реваемся владеть ими в течение года. Совокупную ставку доход­ности (или просто доходность) можно представить как сумму двух компонентов: дивидендной доходности и доходности в результа­те изменения курса акций:

Предположим, что купив акции А мы рассчитываем, что ди­видендный компонент будет равен 3%, ценовой компонент соста­вит 7%, так что ожидаемая ставка доходности будет равняться 10%:

Широко используемая единица измерения рискованности ак­тивов акции — это изменчивость (volatility). Изменчивость связа­на с диапазоном возможных ставок доходности акций и вероят­ностью их получения. Чем шире диапазон между возможными показателями доходности и чем больше вероятность получения экстремальных значений, тем выше показатель изменчивости акции.

Например, если нас попросят дать «точечную оценку» доход­ности акций А в следующем году, то наш ответ будет 10%. При этом нас не удивит, если окажется, что реальная доходность ока­залась больше или меньше предсказанной нами. Доходность мо­жет быть как очень низкой (-50%), так и очень высокой (+50%). Чем сильнее расхождение межу возможными показателями доход­ности, тем сильнее изменчивость.

Чтобы лучше понять суть изменчивости, рассмотрим распре­деление вероятностей получения разных уровней доходности для акций А. Всем возможным уровням доходности соответствуют ве­роятности от нуля (полное отсутствие вероятности достижения этого уровня) до единицы (данная доходность будет получена обя­зательно).

Предположим, что нам абсолютно точно известно, что в бу­дущем году доходность составит 10%. В этом случае имеется толь­ко один возможный уровень доходности, и вероятность его дос­тижения равна 1,0.

Теперь допустим, что в зависимости от состояния экономики акции А могут принести разную доходность. Если в будущем году экономика будет на подъеме, объемы продаж и прибыль компании будут повышаться, а значит, и ставка доходности ин­вестиций в акции А будет равна 30%. Если в экономике будет спад, то ставка доходности составит (-10%), т.е. акционер поне­сет убытки. Если экономическое положение просто останется не­изменным, фактическая доходность составит 10%. Оценка вероятности для каждого из этих состояний в нашем гипоте­тическом примере показана в табл. 4.8 и проиллюстрирована рис. 4.15.

Распределение вероятности в табл. 4.8 означает, что если мы вложим деньги в акции А, то получим, скорее всего, 10%-ную доходность. Вероятность этого в три раза превышает вероятность получения двух других значений доходности — 10% и 30%.

Таблица 4.8 Распределение вероятностей ставок доходности акций

Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, ум­ноженных на соответствующую вероятность их получения:

Применив эту формулу к рассматриваемому случаю, мы об­наружим, что ожидаемая ставка доходности акций А равна:

Очевидно в этом случае, мы сильнее сомневаемся в том, ка­кой же будет ставка доходности, чем в случае полной определен­ности.

Рис. 4.15. Распределение вероятностей доходности

А теперь рассмотрим другой пример. Акции некоторой ком­пании В, у которых диапазон вероятностных показателей доход­ности еще шире, чем у акций А. Распределение вероятности акций А сравнивается с распределением вероятности акций В в табл. 4.9 и на рис. 4.16.

Распределение вероятностен доходности акций А и В

Следует обратить внимание, что показатели вероятности оди­наковы для обеих акций, но у В более широкий диапазон колеба­ний доходности. Если экономика будет находиться на подъеме, акции В принесут своим акционерам 50% доходности, а акции А только 30%. Но, если экономическое положение ухудшится, до­ходность акций В упадет до -30%, а акций А — только до -10%. Другими словами, показатели доходности инвестиций в акции В

Рис, 4.16. Распределение вероятностей доходности акций А и В

изменяются более сильно, а, следовательно, они являются более рискованными.

Как было отмечено ранее, изменчивость показателей доходно­сти акций зависит от их возможного диапазона и от вероятности появления экстремальных значений. Для того, чтобы рассчитать и измерить изменчивость в распределении вероятностей получения возможных показателей доходности, в финансах чрезвычайно ши­роко используется среднее квадратическое отклонение а (стандар­тное отклонение), которое определим как

(4.9.2)

где математическое ожидание (среднее значение) равно:

(4.9.3)

Чем больше стандартное отклонение, тем выше показатель изменчивости акций.

Для акций А и В имеем

Стандартное отклонение для акций А равно: ^

Стандартное отклонение для акций В равно:

Стандартное отклонение для акций В в два раза больше, чем для А, поэтому возможное отклонение от среднего значения в два раза превышает тот же показатель у акций А.

В реальном мире диапазон показателей доходности акций не ограничен несколькими значениями, как в нашем примере, и до­ходность может принимать практически любое значение. Поэто­му мы можем сказать, что распределение доходностей акций пред­ставляет собой непрерывное распределение вероятностей. Чаще всего используется один из видов непрерывного распределения вероятностей — нормальное распределение, которое представля­ет собой кривую, показанную на рис. 4.16.

Более подробно о нормальном распределении мы поговорим в следующей главе.

Для нормального и прочих, похожих на него, симметричных распределений стандартное отклонение — естественная единица измерения изменчивости. Термины: изменчивость и стандартное отклонение часто используются как взаимозаменяемые.

Нормальное распределение охватывает неограниченное коли­чество значений доходности, от «минус бесконечность» до «плюс бесконечность». Для интерпретации различных значений стандар­тного отклонения обычно используется доверительный интервал

(4.9.4)

которым обозначается определенный диапазон значений (интер­вал), в пределах которого фактическая доходность акций попадет с заданной вероятностью.

Здесь X (ri) — нормальная случайная величина с математичес­ким ожиданием E(ri) и средним квадратическим отклонением σ, a t — некоторый параметр. При t = 3 вероятность попадания слу­чайной величины X(ri) в интервал (4.9.4) практически равна еди­нице.

Из формулы (4.9.4) следует, что при нормальном распределе­нии доходность акции, которая находится в пределах доверитель­ного интервала, включающего все значения доходности, находя­щиеся в рамках одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, имеет вероятность порядка 0,68. Соответству­ющий доверительный интервал для двух стандартных отклонений имеет вероятность порядка 0,95, а доверительный интервал для трех стандартных отклонений имеет вероятность порядка 0,99.

Рассмотрим, например, акции с ожидаемой доходностью в 10% и стандартным отклонением в 20%. При нормальном распределе­нии существует вероятность, равная примерно 0,95, что фактичес­кая доходность попадет в интервал, ограниченный с одной сторо­ны ожидаемой доходностью и двумя стандартными отклонениями (10% + 2 • 20% = 50%), а с другой стороны — ожидаемой доходнос­тью минус два стандартных отклонения (10% — 2 * 20% = -30%). Диапазон доходности, который ограничен минимальным значе­нием -30% и максимальным значением 50%, с вероятностью 0,95 представляет собой доверительный интервал для доходности дан­ных акций.

Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе финансовых рисков, является коэффициент вариации:

В отличие от стандартного отклонения и коэффициент вариа­ции V — относительный показатель, он определяет степень риска на единицу среднего дохода.

В случае одинаковых или нулевых средних значений доходно­сти вычисление этого показателя теряет смысл. Очевидно, что при равных средних, чем больше величина стандартного отклоне­ния а, тем больше коэффициент вариации и тем больше риск. Оп­ределение коэффициентов вариации особенно полезно в тех слу­чаях, когда средняя доходность сравниваемых операций суще­ственно различается.

Рассмотрим следующий пример. Ожидаемая доходность по акциям фирм А и В равна 45% ± 15% и 8% ± 4% соответственно. Определить степень риска операций с данными акциями.

Согласно значениям стандартных отклонений, разброс доход­ности по акциям фирмы А значительно выше, следовательно, ее акции должны бы быть более рисковыми. Определим коэффици­енты вариации:

Однако расчеты показывают, что степень риска на среднюю единицу дохода выше у фирмы В. Какая же операция связана с большим риском?

На рис. 4.17 приведены графики плотностей распределения вероятностей для доходности по акциям обеих фирм.

На первый взгляд критерии явно противоречат друг другу, хотя интуитивно понятно, что вероятность получения нулевого либо от­рицательного дохода по акциям фирмы В гораздо выше (рис. 4.17). Проведенный расчет показал, что соответствующие вероятности равны 2,3% для акций В и всего 0,13% для А.

Воспользуемся правилом трех сигм (4.9.4). Нетрудно заметить, что для акций фирмы В нулевое значение доходности попадает в диапазон (а — 2сг)> а отрицательное — в (а — За). Тогда как по ак­циям фирмы А получение нулевой доходности возможно лишь в крайнем случае — (а — Зет), а вероятность получения отрицатель­ной доходности практически равна 0, поскольку средняя доход­ность очень высока и в 3 раза превышает величину стандартного отклонения.

Плотность распределения вероятностей

Приведенный пример демонстрирует преимущества примене­ния коэффициента вариации в случаях, когда средние доходности значительно различаются.

Закон нормального распределения вероятностей широко ис­пользуется в процессе анализа рисков финансовых операций. Его важнейшие свойства, такие, как симметричность распределения относительно средней, ничтожно малая вероятность больших от­клонений значений случайной величины от центра ее распределе­ния, правило трех сигм, позволяют существенно упростить про­ведение анализа и выполнение сопутствующих расчетов.

Однако далеко не все финансовые операции предполагают нормальное распределение доходов. Например, распределения вероятностей получения доходов от операций с производными фи­нансовыми инструментами (опционами, фьючерсами) часто ха­рактеризуются асимметрией (скосом) относительно математичес­кого ожидания случайной величины.

Так, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владель­цу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной доходности. По сути опцион на покупку отсекает распределение доходности в той точке, где начинаются потери.

На рис. 4.18 приведен график плотности распределения веро­ятностей с положительной (правой) асимметрией.

Нетрудно заметить, что точка максимума функции плотности распределения соответствует доходности в 14% и не совпадает с ожидаемым значением (20%). В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (средней и стандарт­ного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стан­дартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных распределениях, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую), или «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности.

Помимо среднего значения и стандартного отклонения, асим­метричные распределения часто требуют знания дополнительных параметров и, в частности, коэффициента асимметрии.

46.8.209.61 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Источники: http://bstudy.net/616511/ekonomika/raspredeleniya_veroyatnostey_srednee_ozhidaemoe_znachenie, http://studfiles.net/preview/6303527/page:17/, http://studopedia.ru/3_5066_veroyatnostnaya-otsenka-stepeni-finansovogo-riska.html

Источник: invest-4you.ru