Нелинейная динамическая модель Кейнса
Рассмотрим нелинейную модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:
т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае
Поскольку y(y>0) — ВВП, а x=I(I>0) — инвестиции, то из экономических соображений следует, что
т.е с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций — возрастает.
Пусть при t=0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном состоянии (y0,I0), первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются известными)
При увеличении инвестиций с I0 до I=I0+ДI (ДI>0) система будет удовлетворять уравнению
Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:
Переменная часть з(t) удовлетворяет уравнению
Если приращение инвестиций ДI сравнительно мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть з(t) также сравнительно мала. Поэтому правую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:
После перенесения члена, содержащего з, в левую часть и деления обеих частей на
получаем уравнение инерционного звена:
— обобщенная предельная склонность к сбережению в начальном состоянии;
Из вышеописанного вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:
Динамическая модель Кейнса
Кейнсианское учение являет собой по преимуществу продолжение основополагающих методологических принципов неоклассического направления экономической мысли, поскольку и сам Дж.М. Кейнс, и его последователи, следуя идее «чистой экономической теории», исходят из приоритетного значения в хозяйственной политике общества прежде всего экономических факторов, определяя выражающие их количественные показатели и связи между ними, как правило, на базе методов предельного и функционального анализа, экономико-математического моделирования. Но в то время как Маршалл рассматривал спрос, предложение, цены преимущественно на уровне отдельных фирм, потребителей, т.е. на микроуровне, Кейнс пришел к выводу, что, прежде всего, следует выявить функциональные связи на уровне национального хозяйства. Анализ совокупных, агрегированных экономических параметров положил начало новым подходам в экономической науке. Кейнс показал, что экономический рост зависит от структуры общественного продукта, что все рынки взаимосвязаны и их необходимо изучать как единую, цельную систему.
Прежде чем искать оптимум, надо было ответить на вопрос: как решить проблему занятости, преодолеть депрессию? Изменились условия равновесия. Требовался переход к анализу агрегированного спроса, совокупного предложения, потоков доходов, инвестиций, потребления и накопления в масштабе всего общества.
Дж.М. Кейнс также не отрицал влияния меркантилистов на созданную им концепцию государственного регулирования экономических процессов. Его общие с ними суждения очевидны и заключаются:
- * в стремлении увеличения массы денег в стране (как средство их удешевления и соответственно снижения ставок ссудного процента и поощрения инвестиций в производство);
- *в одобрении роста цен (как способ, стимулирующий расширение торговли и производства);
- *в признании того, что недостаток денег служит причиной безработицы;
- *в понимании национального (государственного) характера экономической политики.
В работе Кейнса отмечаются методологические расхождения с классиками и неоклассиками. В «Общей теории» Дж.М. Кейнса отчетливо прослеживается мысль о нецелесообразности чрезмерной бережливости и накопительства и, наоборот, возможной пользе всемерного расходования средств, поскольку, как полагал ученый, в первом случае средства, скорее всего, приобретут неэффективную ликвидную (денежную) форму, а во втором — могут быть направлены на увеличение спроса и занятости. Он также резко и аргументированно критикует тех экономистов, которые привержены догматическим постулатам «закона рынков» Ж.Б.Сэя.
Кейнс показал несостоятельность так называемого закона Сэя, согласно которому производство само формирует доходы, обеспечивая равновесие спроса и предложения. Конечно, когда осуществляется производство, то одновременно (тем самым) формируются доходы. Но где гарантия, что деньги, полученные в форме доходов, будут тотчас же израсходованы на покупку произведенных товаров? Почему продавец товаров должен немедленно использовать вырученные им средства на приобретение других товаров?
Нет, размер спроса не следует автоматически за предложением. В обществе происходят не бартерные сделки, товары реализуются и «обмениваются через посредство денег. Спрос, определяемый уровнем доходов, отстает от их динамики. Если же спрос меньше производимого продукта (и предложения), то часть продукции не находит сбыта. «Возникает общее перепроизводство.
Кейнс приходит к выводу: доходы не равнозначны спросу. В случае нарушений (спрос не поспевает за предложением) цены реагируют не сразу и не успевают уравновесить спрос и предложение.
Вопреки классикам Кейнс утверждал, что цены не являются достаточно гибкими регуляторами рыночного хозяйства. Они относительно консервативны. О ситуации, складывающейся на рынке, обычно судят не по динамике цен, а прежде всего, по наличию товарных запасов, по динамике потребительского спроса. Что касается рынка труда, то здесь цены (номинальная заработная плата) плохо выполняют роль регулятора спроса на рабочую силу. При падении указанного спроса они, как правило, не снижаются.
В отличие от классиков Кейнс показал, что рост сбережений не равнозначен росту инвестиций. Более того, при известных условиях рост сбережений может вести не к росту, а к уменьшению объема инвестиций.
В результате рыночный «автоматизм» не срабатывает, равновесие не восстанавливается.
Рассмотрим следующую экономическую модель. Пусть ВВП (валовой внутренний продукт) в следующем году y(t + 1) равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (С) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года.
Предположим, что спроса на потребительские товары линейно зависит от ВВП, а спрос на инвестиционные товары существенно не меняется. Тогда
С — минимальный объем фонда потребления,
с 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Yр.
Согласно классификации п. 9.3, уравнение (11.11) является автономным; точка Y = Yp представляет собой точку неустойчивого равновесия.
Неоклассическая модель роста
Пусть Y = F (K, L) — национальный доход, где F — однородная производственная функция первого порядка (F (tK, tL) = tF (K, L)), К — объем капиталовложений (производственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k = K/L, тогда производительность труда выражается формулой
Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.
1. Имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов:
2. Инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т.е.
где β — норма амортизации.
Тогда если l — норма инвестиций, то I = lY = К’ + βК, или
Из определения фондовооруженности k вытекает, что
Дифференцируя это равенство по t, имеем
Подставив в это соотношение выражения (11.15) и (11.16), получаем уравнение относительно неизвестной функции k
где функция f(k) определена по формуле (11.14).
Полученное соотношение (11.17) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия k’ = 0 следует, что
т.е. k = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.
Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции F(K, L) = найти интегральные кривые уравнения (11.17) и стационарное решение. Из (11.14) следует, что f(k) =, и тогда уравнение (11.17) имеет вид
Стационарное решение этого уравнения следует из равенства
откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (11.17): kst = I 2 /(α + β) 2 .
Дифференциальное уравнение (11.17) решаем методом разделения переменных:
Интегрируя это уравнение с заменой переменной = z, получаем его общее решение в окончательном виде:
Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 11.4): т.е. k kst при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачиl, α и β функция фондовооруженности в данном случае устойчиво стремится к стационарному значению независимо от начальных условий. Такая стационарная точка k = kst является точкой устойчивого равновесия.
Источники: http://em.bobrodobro.ru/2590, http://studwood.ru/1955264/ekonomika/dinamicheskaya_model_keynsa, http://studfiles.net/preview/6187613/page:47/
Источник: