Портфель инвестиций и подходы к его оптимизации

Подходы к оптимизации портфеля.

Инв. портфель — некая совокуп­ность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридичес­кому лицу, выступающая как целостный объект управления. Основная цель формирования инвестиционного портфеля — обеспечение реализации основных задач финансового инвестиро­вания фирмы путем подбора наиболее доходных и наименее рис­кованных ценных бумаг. Метод, кот.будет применен для выбора наиболее желат. портфеля, исп-ет кривые безразличия.Эти кривые отражают отн-ие инвестора к риску и доход-ти и мб предст-ны как двухмерный график, где по гориз.оси отклад-ся риск, мерой кот. яв-ся станд.отклонение,а по вертик. оси — вознаграждение, мерой кот. яв-ся ожид.доход-ть.Рисунок предст-ет собой график кривых безразличия гипотетического инвестора. Каждая кривая линия отображает 1 кривую безразличия инвестора и предст-ет все комбинации портфелей, кот. обесп-ют задан.уровень желаний инвестора. Важное св-во кривых безразличия:все портфели, лежащие на одной задан.кривой безразличия, яв-ся равноценными для инвестора.Как бы не были расположены 2 кривые безразличия на графике, всегда сущ-ет возм-ть построить 3 кривую, лежащую мд ними. Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. Марковиц полагал, что зн-ия доход-ти ЦБ яв-ся случ.вел-ми, распределенными по нормал. закону. Инвестор формируя свой портфель, оцен-ет лишь 2 показ-ля: E(r) – ожид.доход-ть и σ – станд.откл-ие как меру риска. Цель любого инвестора – составить такой портфель ЦБ, кот.бы давал максимально возмож.отдачу с минимально допуст. риском. Если брать разл. кол-ва ЦБ, имеющих любые попарные коэфф-ты доход-ей, и созд-ть из них портфели, варьируя “вес” каждой ЦБ, то какому-то конкр. портфелю А будет соотв-ть вполне опр.соотн-ие ожид.доход-ти E(rA) и риска (станд. откл-ие σА). Ключ к решению проблемы выбора оптим.портфеля лежит в теореме о сущ-ии эфф.набора портфелей. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор двыбрать из всего бесконеч.набора портфелей такой портфель, кот.: 1. Обесп-ет максим. ожид. доход-ть при каждом уровне риска. 2. Обесп-ет миним. риск для каждой вел-ны ожид. доход-ти. Осн.заслугой Марковица яв-ся предложенная им теоретико-вероятнос.формализация понятий «доход-ть» и «риск». В его модели для исчисления соотн-ия мд риском инв-ий и их ожид. доход-ью исп-ся распред-ие вероят-ей. Ожид.доход-ть портфеля ЦБ опр-ся как ср.зн-ие распред-ия вероят-ей, а риск — как станд.откл-ие возмож.зн-ий доход-ти от ожидаемого. — модель оценки долгоср. активов. Модель исп-ся для того, чтобы опр-ть треб.уровень доход-ти актива, кот.предполаг-ся добавить к уже существующему хорошо диверсифиц.портфелю с учётом рын.риска этого актива. CAPM — модель оценки доход-ти фин. активов служит теорет.основой для ряда разл. фин.технологий по упр-ию доход-ью и риском, применяемых при долгоср.и среднеср.инв-ии в акции. CAPM рассм-ет доход-ть акции в завис-ти от поведения рынка в целом. Др. исходное предположение CAPM состоит в том, что инвесторы принимают решения, учитывая лишь 2 фактора: ожид. доход-ть и риск. Согласно модели риск, связанный с инв-ми в любой рисковый фин.инструмент, мб разделен на 2 вида: систематический и несистематический. Системат. риск обусловлен общими рын.и эк. изм-ми, воздействующими на все инв. инструменты и не являющимися уникальными для конкр. актива. Несистемат. риск связан с конкр.компанией-эмитентом. В кач-ве меры системат.риска в CAPM исп-ся показ-ль β (бета), характеризующий чувствит-ть фин. актива к изм-ям рын.доход-ти. Зная показ-ль β актива, можно колич-но оценить вел-ну риска, связанного с цен.изм-ми всего рынка в целом. Чем больше значение β акции, тем сильнее растет ее цена при общем росте рынка, но и наоборот — акции компании с большими положительными β сильнее падают при падении рынка в целом. Несистемат.риск мб уменьшен с помощью сост-ия диверсифиц.портфеля из достаточно большого кол-ва активов или даже из небольшого числа антикоррелирующих мд собой активов. Точный расчет показ-ей β необходим фин. менеджерам, чтобы выбрать активы, кот. наилучшим образом соотв-ют их стратегии инв-ия. Используя коэфф-нт β, можно форм-ть инв.портфели самых разных типов. Модель оценки долгоср.активов имеет след. вид:

, где E(Ri) — ожид.ставка доход-ти на долгоср. актив; Rf — безриск.ставка доход-ти; βi — коэфф-нт чувствит-ти актива к изм-ям рын.доход-ти Rm, выраженный как ковариация доход-ти актива Ri с доход-ью всего рынка Rm по отн-ию к дисперсии доход-ти всего рынкаσ 2 (Rm), равный ; β-коэфф-нт для рынка в целом всегда равен 1; E(Rm) — ожид.рын. ставка доход-ти; E(Rm)-Rf — премия за риск вложения в акции, равна разнице ставок рын. и безрисковой доход-ти. Показ-ль ковариации опр-ся по формуле:

где cov– ковариация доход-ти i-ой и j-ой акции, rin– ср.доход-ть i-ой акции за n периодов, rjn– ср.доход-ть j-ой акции за n периодов, ri– доход-ть актива i-ой акции,rj– доход-ть актива j-ой акции, n – число периодов, за кот.рассчит-сь доход-ть i-ой и j-ой акции. Полож.зн-ие ковариации говорит о том, что доход-ти акций изм-ся в одном напр-ии, отрицательное – в обратном. Нулевое зн-ие ковариации озн-ет, что взаимосвязь мд доход-ми акций отсут-ет. Коэфф-нт корреляции:

где corrij– коэфф-нт корреляции доход-ти i-ой и j-ой акции, covij– ковариация доход-ти i-ой и j-ой акции, di– станда.откл-ие доход-ти i-ой акции,dj– станд.откл-ие доход-ти j-ой акции. Коэфф-нт корреляции изм-ся в пределах от -1 до +1. Полож.зн-ие коэфф-та говорит о том, что доход-ти акций изм-ся в одном напр-ии при изм-ии конъюнктуры, отрицательное – в противоположном. При нулевом зн-ии взаимосвязь мд доход-ми акций отсут-ет. Важное св-во ковариац.матрицы в том, что ее диагонал.члены яв-ся дисперсиями доход-ей акций, а остальные ее члены предст-ют собой ковариации доход-ей акций. Дисперсия – это станд.откл-ие в квадрате, рассчитываемое по формуле:
где — дисперсия акции, — ожид.доход-ть акции, ri— факт.доход-ть в i-ом периоде, n – число периодов наблюд-ия. Станд.откл-ие – это квадрат.корень из дисперсии.

Риск портфеля ЦБ. Поскольку курс.ст-ть ЦБ изм-ся, то инвестор мне только получить доход, но и понести убыток. В рез-те изм-ия курс.ст-ти, инвестор несет риск получить потери. На осн-ии прошлых статист. зн-ий доход-ти ЦБ мрассч-ть ср.зн-ие:

где — ожид.доход-ть акции, ri — факт. доход-ть в i-ом периоде, n – число периодов наблюдения, имеющих одинак.продолж-ть. Доход-ть акций — отн-ие прибыли, приходящейся на 1 акцию, к ее рын.ст-ти. Значимый коэфф-нт оценки доход-ти акций — это изменч-ть цены на акцию – коэф-нт бета, кот.служит мерой эластич-ти изм-ия цены акции к изм-ию рынка. Вел-ну его мрассч-ть только путем оценки изм-ий ст-ти во времени по срав-ию с изм-ми рынка за тот же период. Коэфф-нт бета рынка принимается за 1, если коэфф-нт бета акции выше 1, и наоборот. Дивид.доход-ть акций — отн-ие див-да на акцию к рын. ст-ти акций. Для инвестора очень важно оценить, насколько прибыльна компания. Для этой цели исп-ся показ-ль «доход на акцию»(EPS), равный отн-ию прибыли после но и выплат по всем обяз-ам к кол-ву выпущ.обыкн.акций. Показ-ль отн-ия цены к доходу на акцию (Р/Е) дает возм-ть срав-ия ст-ти аналог. акций и рассчит-ся как отн-ие текущ. рын.цены акции к доходу на акцию.

Стратегическое и текущее планирование финансовой деятельности кредитной организации

Функции банк.план-ия: определение генеральных направлений и приоритетов перспективного развития банка, а также его локальных, тактических целей и задач; разработка мер по развитию банковских продуктов, пользующихся спросом на рынке у конкретных клиентов банка, и планов их внедрения в практику деятельности банка; согласование конкретных оперативных планов, разрабатываемых для решения стратегических задач и внедрения перспективных банковских услуг в рамках имеющихся финансовых ограничений, определяемых объемом немобилизованных собственных средств, прибыльностью текущих операций и допустимым уровнем принимаемых рисков; определение путей достижения оптимальных финансовых результатов при ограничении совокупного уровня риска банка; уточнение и корректировка перспективных плановых показателей с учетом изменяющихся внутренних и внешних условий; определение принципиальных условий, в рамках которых будут приниматься текущие решения о проведении конкретных операций банка с целью поддержания его текущей ликвидности и платежеспособности; структурирование организации и планирование персонала, обеспечивающие решение перспективных и текущих задач банка; контроль за выполнением плановых показателей. Планирование в широком смысле представляет собой процесс принятия и организации выполнения управленческих решений, связанных с будущими событиями, на основе их систематической подготовки, включающей мониторинг и анализ результатов выполнения ранее принятых планов, оценку постоянно изменяющейся рыночной ситуации, изучения потребностей реальных и потенциальных клиентов банка и стратегических задач, которые учредители ставят перед банковской организацией. Планирование в узком смысле можно определить как систематическую подготовку решений, связанных с будущим банковской организации. Принципы организации планирования: гибкость и индикативность; альтернативность планирования; обязательный контроль за выполнением плановых показателей; принцип публичности; принцип оптимальности; интегрированный. По кругу и уровню детализации определяемых задач и плановых показателей можно выделить следующие виды планирования: планирование стратегии банка; маркетинговое планирование; бизнес-планирование; оперативное планирование; финансовое планирование; составление сметы расходов и использования прибыли банка; бюджетное планирование; планирование текущей деятельности; структурирование организации и планирование персонала. Стратегия банка — это концептуальная основа его деятельности, определяющая приоритетные цели и задачи банка и пути их достижения и отличающая банк от его конкурентов в глазах его клиентов и служащих. Стратегическое планирование — процесс разработки альтернативных стратегий управления организацией, обеспечивающих достижение ее целей, согласованных с требованиями рынка и внутренним потенциалом кредитной организации. Цель стратегического управления — разработка, внедрение и развитие таких новых направлений банковской деятельности и банковских продуктов, которые обеспечивали бы рост доли завоеванного рынка, доходов банка и, как следствие, увеличение рыночной стоимости кредитной организации. Миссия банка — это четко сформулированная учредителями причина его существования. Этап ее определения по сути должен предшествовать началу деятельности кредитной организации. Миссия банка определяет только тип банковской организации и ее цели. На содержание миссии банка влияют такие внутренние факторы, как ценностные ориентации руководства, накопленный экономический потенциал и история банка, его внутренняя корпоративная культура, структура банковской организации, а также требования и ограничения, диктуемые внешними обстоятельствами. На третьем этапе разработки банковской стратегии, исходя из определенных генеральных задач, формулируются стратегические цели на плановый период. Цели конкретизируют декларированную миссию банка и должны удовлетворять следующим условиям: конкретность и измеримость, ориентированность во времени, достижимость, непротиворечивость и взаимодополняемость. Бизнес-план — подробное изложение стратегии, тактики и бюджета банка. Он нацелен на обеспечение общего понимания задач организации, а также определение количества, качества и механизма распределения ресурсов, выделяемых для выполнения этих задач. Бизнес-план должен позволить уточнить стратегический план и обоснованно выбрать конкретный проект его реализации. Результатом финансового планирования являются плановый баланс и план доходов, расходов и прибыли банка. Финансовое планирование ориентировано на составление альтернативных бюджетов, учитывающих необходимые затраты капитала на новые программы или проекты, и плановых балансов банка, обеспечивающих реализацию этих программ и одновременное соблюдение разработанных лимитов. Задачей финансового планирования является нахождение оптимальной структуры активных и пассивных операций, разработка ориентиров процентной политики банка, которые, с одной стороны, позволят наиболее полно реализовать выбранные руководством стратегии развития, а с другой стороны, будут учитывать реальные возможности банка и определенные банковским законодательством и внутренними документами ограничения деятельности.

Управление и методы оптимизации инвестиционного портфеля

Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

• 1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;
• 2. Обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

По истечении определенного времени первоначально сформированный портфель уже не может рассматриваться менеджером в качестве оптимального, наилучшего для инвестора в связи с изменением его отношения к риску и доходности, а также инвестиционных предпочтений или изменением прогнозов самого менеджера. В этом случае менеджер должен пересмотреть портфель. Во-первых, он должен определить, каким будет новый оптимальный портфель; во-вторых, выявить те виды бумаг в существующем портфеле, которые необходимо продать, и виды бумаг, которые следует купить взамен; в-третьих, переструктурировать имеющийся портфель.

Пересмотр портфеля связан с определенными дополнительными расходами, например, на комиссионные брокерам, потери от изменения цен на бумаги, разницу между ценами покупки и продажи и т.д. Для того чтобы пересмотр был эффективным, выгоды от пересмотра портфеля должны превышать издержки, обеспечивать увеличение ожидаемой доходности, а также уменьшение стандартного отклонения портфеля.

Основная цель менеджера состоит в том, чтобы подобрать такие бумаги, которые с учетом дополнительных издержек, связанных с пересмотром, позволят максимально улучшить показатели риска и доходности портфеля.

В управлении портфелем можно выделить две основные стратегии: пассивную и активную.

Пассивной стратегии придерживаются менеджеры, которые полагают, что рынок является эффективным. В таком случае нет необходимости часто пересматривать портфель, поскольку эффективный рынок всегда «правильно» оценивает активы, а одинаковые ожидания инвесторов относительно доходности и риска говорят о том, что все они ориентируются на одинаковые линии рынка актива и линии рынка капитала. Пассивный портфель пересматривается только в том случае, если изменились установки инвестора или на рынке сформировалось новое общее мнение относительно риска и доходности рыночного портфеля. Пассивный менеджер не ставит перед собой цель получить более высокую доходность, чем в среднем предлагает рынок для данного уровня риска.

Пассивное управление портфелем состоит в приобретении активов с целью держать их длительный период времени. Если в портфель включены активы, выпущенные на определенный период времени, например облигации, то после их погашения они заменяются аналогичными бумагами и тому подобным до окончания инвестиционного горизонта клиента. При такой стратегии текущие изменения в курсовой стоимости активов не принимаются в расчет, так как в длительной перспективе плюсы и минусы от изменения их цены будут гасить друг друга.

Активную стратегию проводят менеджеры, полагающие, что рынок не всегда, по крайней мере в отношении отдельных бумаг, является эффективным, а инвесторы имеют различные ожидания относительно их доходности и риска. В итоге цена данных активов завышена или занижена. Поэтому активная стратегия сводится к частому пересмотру портфеля в поисках финансовых инструментов, которые неверно оценены рынком, и торговле им с целью получить более высокую доходность.

Формируя портфель, менеджер должен определить, в каких пропорциях включать в него активы различных категорий, например акции, облигации и т. п. Такое решение называется решением по распределению средств. Оно зависит от оценок менеджером доходности и риска по данным группам активов и коэффициента допустимости (толерантности) риска клиента. Доходности в рамках каждой из групп обычно имеют высокую степень корреляции, поэтому более важно определить категорию актива, который принесет наибольшую доходность в будущих условиях, чем самые лучшие активы внутри каждой категории. Далее менеджер должен выбрать конкретные активы в рамках каждой категории. Такое решение называется решением по выбору активов. Менеджер также должен определить рыночный тренд. Если он полагает, что на рынке ожидается подъем, то ему необходимо сделать акцент на активах с более высокой стоимостью, если спад, то на активах с низкой стоимостью.

Активную стратегию менеджер может строить на основе приобретения рыночного портфеля в сочетании с кредитованием или заимствованием.

Вследствие изменения конъюнктуры рынка менеджер периодически будет пересматривать портфель. Покупка и продажа активов повлечет дополнительные комиссионные расходы. Поэтому, определяя целесообразность пересмотра портфеля, ему следует учесть в издержках данные расходы, поскольку они будут снижать доходность портфеля.

Эффективность управления портфелем ценных бумаг предполагает проведение мониторинга портфеля ценных бумаг с целью осуществления необходимой корректировки принятых решений. Важным принципом проведения мониторинга является сопоставимость результатов, для обеспечения которой необходимо применять единую методику и использовать ее через равные интервалы времени.

Результативность мониторинга во многом зависит от качества построения системы показателей портфеля, степени ее репрезентативности, а также чувствительности к неблагоприятным изменениям, имеющим отношение к рассматриваемому инвестиционному объекту.

Некоторые подходы к оптимизации инвестиционного портфеля

В сложившейся мировой практике фондового рынка под инвестиционным портфелем понимается некая совокупность ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления. Это означает, что при формировании портфеля и в дальнейшем, изменяя его состав и структуру, менеджер формирует новое инвестиционное качество. Основную проблему, которую необходимо решать при формировании портфеля ценных бумаг, составляет задача распределения инвестором определенной суммы денег по различным альтернативным вложениям (например, акциям, облигациям, наличным деньгам и др.) так, чтобы наилучшим образом достичь своих целей.

В первую очередь инвестор стремится к получению максимального дохода за счет: выигрыша от благоприятного изменения курса акций; дивидендов; получения твердых процентов и т.д. С другой стороны, любое вложение капитала связано не только с ожиданием получения дохода, но и с постоянной опасностью проигрыша, а, значит, в оптимизационных задачах по выбору портфеля ценных бумаг необходимо учитывать риск. В принципе для создания портфеля ценных бумаг достаточно инвестировать деньги в какой-либо один вид финансовых активов. Но современная экономическая практика показывает, что такой однородный по содержанию портфель (или недиверсифицированный) встречается очень редко. Гораздо более распространенной формой является так называемый диверсифицированный портфель, т.е. портфель с самыми разнообразными ценными бумагами. Использование диверсифицированного портфеля устраняет разброс в нормах доходности различных финансовых активов. Иными словами, портфель, состоящий из акций разноплановых компаний, обеспечивает стабильность получения положительного результата.

Смысл портфеля — улучшить условия инвестирования, придав совокуп­ности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недости­жимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации.

Доходы по портфельным инвестициям представляют собой валовую прибыль по всей совокупности бумаг, включенных в тот или иной портфель с учетом риска. Возникает проблема количественного соответствия между прибылью и риском, которая должна решаться оперативно в целях постоянного совершенствования структуры уже сформированных портфелей и формирования новых в соответствии с пожеланиями инвесторов. Надо сказать, что указанная проблема относится к числу тех, для выяснения которых достаточно быстро удается найти общую схему решения, но которые практически неразрешимы до конца.

С учетом инвестиционных качеств ценных бумаг можно сформировать различные портфели ценных бумаг, в каждом из которых будет собственный баланс между существующим риском, приемлемым для владельца портфеля, и ожидаемой им отдачей (доходом) в определенный период времени. Соотношение этих факторов и позволяет определить тип портфеля ценных бумаг.

Итак, тип портфеля — это его инвестиционная характеристика, основанная на соотношении дохода и риска. При этом важным признаком при классификации типа портфеля становится то, каким способом, при помощи какого источника данный доход получен: за счет роста курсовой стоимости или текущих выплат дивидендов, процентов.

Следует отметить, что одно из «золотых» правил работы с ценными бумагами гласит: «нельзя вкладывать все средства в ценные бумаги — необходимо иметь резерв свободной денежной наличности для решения инвестиционных задач, возникающих неожиданно».

Данные экономического анализа подтверждают, что при определенных допущениях как желаемый размер денежных средств, предназначаемый на непредвиденные цели, так и предполагаемый размер денежных средств на трансакционные нужды зависят от процентной ставки. Поэтому инвестор, вкладывая часть средств в денежную форму, обеспечивает требуемую устойчивость портфеля. Денежная наличность может быть конвертируема в иностранную валюту, если курс национальной валюты ниже, чем иностранной. Таким образом, помимо сохранения средств достигается увеличение вложенного капитала за счет курсовой разницы.

Выше были рассмотрены принципы формирования портфеля в качественном отношении. Не менее важен количественный аспект проблемы. Сколько ценных бумаг должно быть в портфеле?

Теория инвестиционного анализа утверждает, что простая диверсификация, т.е. распределение средств портфеля по принципу «не клади все яйца в одну корзину», ничуть не хуже, чем диверсификация по отраслям, предприятиям и т.д. Кроме того, увеличение различных активов, т.е. видов ценных бумаг, находящихся в портфеле, более чем до 15 видов не дает значительного уменьшения портфельного риска. Максимальное сокращение риска достижимо, если в портфеле отобрано от 10 до 15 различных ценных бумаг; дальнейшее увеличение состава портфеля нецелесообразно, так как возникает эффект излишней диверсификации, который необходимо избегать.

Излишняя диверсификация может привести к таким отрицательным результатам, как:

• невозможность качественного портфельного управления;
• покупка недостаточно надежных, доходных, ликвидных ценных бумаг;
• рост издержек, связанных с поиском ценных бумаг (расходы на предварительный анализ и т.д.);
• высокие издержки при покупке небольших партий ценных бумаг и т.д.

Издержки по управлению излишне диверсифицированным портфелем не дадут желаемого результата, так как доходность портфеля вряд ли будет возрастать более высокими темпами, чем издержки в связи с излишней диверсификацией.

Следует отметить, что формирование и управление портфелем — область деятельности профессионалов, а создаваемый портфель — это товар, который может продаваться либо частями (продают доли в портфеле для каждого инвестора), либо целиком (когда менеджер берет на себя труд управлять портфелем ценных бумаг клиента). Как и любой товар, портфель определенных инвестиционных свойств может пользоваться спросом на фондовом рынке.

Разновидностей портфелей много, и каждый конкретный держатель придерживается собственной стратегии инвестирования, учитывая состояние рынка ценных бумаг и основательно «перетряхивая» портфель, согласно другому «золотому» правилу работы с ценными бумагами, не реже одного раза в три-пять лет. Поэтому не ставится цель охватить все многообразие существующих портфелей, а лишь определяются принципы их формирования.

Одним из действенных методов оценки при составлении инвестиционного портфеля служит моделирование. Моделирование позволяет в короткие сроки получить требуемые инвестиционные характеристики будущего портфеля в зависимости от складывающейся конъюнктуры рынка. Рассмотрим следующую оптимизационную модель.

Пусть хозяйственный субъект обладает финансовыми средствами в объеме F на интервале [0,T]. Известно, что эти финансовые средства он может использовать для приобретения n видов ценных бумаг в объемах V ,…, Vn. Исходная стоимость одной единицы ценных бумаг вида iсоставляет , а прогнозируемая стоимость бумаг вида i к моменту времени T составляет . При этом будем полагать, что (i=1…n). Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех видов приобретенных ценных бумаг в момент времени T. Проблема формирования портфеля ценных бумаг может быть сформирована как следующая задача целочисленного линейного программирования с булевыми переменными:

,

, .

Здесь в качестве целевой функции выбрано выражение, состоящее из 2-х слагаемых, первое из которых – это выручка от продажи ценных бумаг по цене , а второе – остаток денежных средств после формирования портфеля ценных бумаг. Учитывая, что постоянная F не оказывает влияния на оптимальное решение, получим следующую оптимизационную задачу:

.

Согласно [10], эта задача является задачей о рюкзаке с одномерными ограничениями и принадлежит к числу так называемых NP-трудных задач, характеризующихся экспоненциальным ростом объема вычислений с ростом размерности задачи.

Для решения приведенной задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ.

Шаг 1. Вычисление верхней оценки.

Вычисление верхней оценки оптимального значения целевой функции происходит следующим образом. Все пакеты акций упорядочиваются по величине отношения (i=1…n). Пронумеруем все пакеты соответствующим образом и получим . Далее, в первую очередь, финансовые ресурсы выделяются для ценных бумаг первого вида, затем второго и т.д. до того момента, пока остатка денежных средств станет недостаточно для приобретения полностью пакета акций вида l в объеме . В этой ситуации снимаются ограничения на приобретение всех акций пакета вида l и приобретаются акции вида l в максимально возможном объеме. Это количество вычисляется из формулы , где — остаток финансовых средств после приобретения первых l-1 пакетов акций ( ). Далее верхняя оценка прибыли вычисляется по формуле:

.

Шаг 2. Вычисление нижней оценки.

Вычисление нижней оценки целевой функции осуществляется по формуле:

.

После того, как вычислены верхняя и нижняя оценки прибыльности для оптимального решения, исследуются все варианты формирования портфеля ценных бумаг, вычисляя при этом текущие верхние оценки для решения.

Шаг 3. Вычисление текущих верхних оценок .

Вычисление текущей верхней оценки при анализе очередного варианта портфеля ценных бумаг производится каждый раз после выделения финансовых средств на приобретение очередного пакета. Эта оценка складывается из прибыли, полученной от приобретения ценных бумаг, на которые уже выделены деньги, и прибыли оставшихся ценных бумаг, вычисляемой по правилу получения . При этом, если окажется, что , то данный вариант формирования портфеля не рассматривается; в противном случае в портфель включается очередной пакет акций, и снова вычисляется . В итоге, либо анализируемый вариант портфеля будет отвергнут, либо в результате будет сформирован пакет, прибыль которого больше нижней оценки . В этом случае в качестве нижней оценки принимаем полученное значение прибыли от последнего портфеля ценных бумаг и переходим к анализу нового варианта формирования портфеля. Работа алгоритма заканчивается либо после перебора всех вариантов формирования портфеля, и тогда оптимальным будет тот вариант, которому соответствует последнее значение , либо в случае, когда получен вариант портфеля, прибыль по которому равна .

Одной из проблем, возникающих при практическом использовании решения предложенной задачи, является достоверность прогноза стоимости ценных бумаг

(i=1…n). Если известна функция распределения случайных величин, задающих возможную прибыль по каждому виду ценных бумаг, то выбирается портфель, максимизирующий математическое ожидание выигрыша, либо минимизирующий риск финансовых потерь ( среднее квадратичное отклонение ). Схема решения и результаты для данной задачи подробно описаны в работе [6].

Другим подходом использования решения задачи в условиях неточного прогноза является анализ чувствительности решения к изменению величин . При этом возможны три варианта.

В первом случае считается, что известны минимальные значения , и необходимо вычислить, насколько могут быть увеличены значения , чтобы оптимальное решение задачи сохранилось, т. е. необходимо определить такое , чтобы при увеличении всех на любое решение задачи сохранилось.

Во втором случае предполагается, что меняются по правилу + .

В третьем случае полагаем, что может принимать все значения из интервала [ , ].

Рассмотрим первый случай. Пусть множество — множество всех возможных решений задачи, и пусть эти решения упорядочены по значению величин . Пусть вектор является оптимальным. Тогда при увеличении на для всех i=1…n в качестве новых решений задачи могут быть только решения . Чтобы определить границу изменения для решения , необходимо выяснить из следующего соотношения:

.

Раскроем скобки в правой части этого выражения и выразим через параметры :

.

Пусть этот минимум достигается на каком-либо . Тогда процедура приращения для решения повторяется. Это происходит до тех пор, пока через конечное число шагов не произойдет переход на решение , и тогда дальнейшее увеличение всех значений не приведет к новому решению. Таким образом доказано следующее свойство оптимальных решений задачи:

Пусть — все допустимые решения задачи, упорядоченные по возрастанию величины , и является оптимальным решением, тогда существует такое разбиение полубесконечного интервала на конечное число отрезков, что при увеличении на внутри каждого отрезка всех значений оптимальное решение сохраняется. В частности, если первоначальным решением задачи было решение , то при равномерном увеличении всех на любое решение задачи не меняется.

Во втором случае, то есть когда меняется по правилу + , схема рассуждений сохраняется, только упорядочение решений происходит по величине .

Соответственно, формула для вычисления максимального , при котором сохраняется оптимальное решение , выглядит следующим образом:

.

В ситуации, когда известен диапазон изменения , аналогично может быть предложена процедура разбиения множества, на котором меняются значения ; , на множества . При этом при изменении на любом из подмножеств оптимальным на этом подмножестве остается решение . Схема такого разбиения предложена в [4]. Литература

1. Агасандян Г.А. Элементы многопериодной портфельной модели. — М.: Вычислительный центр РАН, 1997.
2. Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента. — М.: Финансы и статистика, 1997.
3. Минаев Ю.Н. Стабильность экономико-математических моделей оптимизации. — М.: Статистика, 1980.
4. Мищенко А.В. Модели распределения ограниченных ресурсов//Рос. экон. акад. — 1992.
5. Мищенко А.В., Попов А.А. Модели управления портфелем ценных бумаг//Рос. экон. акад. — 1999.
6. Мищенко А.В., Попов А.А. Двухкритериальная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях ограничений на финансовые ресурсы//Менеджмент в России и за рубежом. — 2001. — № 1.
7. Ромакин М.И. Математический аппарат оптимизационных задач. — М.: Статистика, 1975.
8. Рынок ценных бумаг/Под ред. акад. А.И.Басова, В.А. Галанова. — М.: Финансы и статистика, 1996.
9. Тренев Н.Н. Управление финансами. Учебное пособие. — М.: Финансы и статистика, 1999.
10. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. — М.: Мир, 1975.
11. Шарп У.Ф., Александер Г.Д., Бэйли Д.В. Инвестиции. — М.: Инфра-М, 1997.

Источники: http://sdamzavas.net/3-75344.html, http://vuzlit.ru/47537/upravlenie_metody_optimizatsii_investitsionnogo_portfelya, http://www.cfin.ru/press/management/2002-2/11.shtml

Источник: invest-4you.ru