Теория нечетких множеств в инвестициях

Применение теории нечетких множеств в оценке экономической эффективности и риска инвестиционных проектов в условиях неопределенности (2)

Главная > Реферат >Экономико-математическое моделирование

Поэтому некоторыми зарубежными и отечественными исследователями разрабатываются методы оценки эффективности и риска инвестиционных проектов на основе аппарата ТНМ [8,9,10,12,13,21,24,27,32,34,35,36]. В данных методах вместо распределения вероятности применяется распределение возможности, описываемое функцией принадлежности нечеткого числа.

относятся к методам оценки и принятия решений в условиях неопределенности. Их использование предполагает формализацию исходных параметров и целевых показателей эффективности ИП (в основном, NPV ) в виде вектора интервальных значений (нечеткого интервала), попадание в каждый интервал которого, характеризуется некоторой степенью неопределенности. Осуществляя арифметические и др. операции с такими нечеткими интервалами по правилам нечеткой математики, эксперты и ЛПР получают результирующий нечеткий интервал для целевого показателя [12,21,27,29]. На основе исходной информации, опыта, и интуиции эксперты часто могут достаточно уверенно количественно охарактеризовать границы (интервалы) возможных (допустимых) значений параметров и области их наиболее возможных (предпочтительных) значений.

Также к в качестве частного случая, отнести давно и широко известный интервальный метод [6,7,27]. Данный метод соответствует ситуациям, когда достаточно точно известны лишь границы значений анализируемого параметра, в пределах которых он может изменяться, но при этом отсутствует какая-либо количественная или качественная информация о возможностях или вероятностях реализации различных его значений внутри заданного интервала. В соответствии с данным методом, входные переменные ИП задаются в виде интервалов, функции принадлежности которых, являются классическими характеристическими функциями множества, поэтому далее возможно прямое применение правил нечеткой математики для получения результирующего показателя эффективности ИП в интервальном виде. В интервальном методе за уровень (степень) риска предлагается принимать размер максимального ущерба, приходящегося на единицу неопределенности [6], т.е.:

(1.2) или , (1.3)

где – требуемое значение параметра;

– минимальное значение параметра;

– максимальное значение параметра;

– уровень (степень) риска, или отношение расстояния от требуемой величины до ее минимального (максимального) значения к интервалу между ее максимальным и минимальным значениями.

Конкретный вариант выражения (1.2)-(1.3) зависит от используемого критерия эффективности. Например, для оценки риска ИП по критерию NPV необходимо использовать выражение (1.2), по критерию DPP — ( 1. 3). Такой способ определения риска полностью согласуется с геометрическим определением вероятности, однако при предположении, что все события внутри отрезка равновероятны. Очевидно, что данное предположение нельзя назвать отражающим реальную действительность.

При наличии дополнительной информации о значениях параметра внутри интервала, когда, например, известно, что значение a более возможно, чем b, математическая формализация неопределенностей может быть адекватно реализована с помощью нечетко-интервального подхода. При использовании математического аппарата ТНМ экспертам необходимо формализовать свои представления о возможных значениях оцениваемого параметра ИП в терминах задания характеристической функции (функции принадлежности) множества значений, которые он может принимать. При этом от экспертов требуется указать множество тех значений, которые, по их мнению, оцениваемая величина не может принять (для них характеристическая функция равна 0), а затем, проранжировать множество возможных значений по степени возможности (принадлежности к данному нечеткому множеству). После того как формализация входных параметров инвестиционного проекта произведена, можно рассчитать распределение возможности выходного параметра (показателя эффективности ИП) по «-уровнему принципу обобщения» или «принципу обобщения Заде»:

(1.4)

где — возможность того, что нечеткая величина примет значение ; — функциональная зависимость выходного параметра ИП ( NPV , PI , DPP , IRR , MIRR и др.) от входных параметров.

Ниже перечислены основные преимущества нечетко-интервального подхода к оценке эффективности и риска инвестиционных проектов по сравнению с вышеперечисленными методами [12]:

Данный подход позволяет формализовать в единой форме и использовать всю доступную неоднородную информацию (детерминированную, интервальную, статистическую, лингвистическую) [1,12,14], что повышает достоверность и качество принимаемых стратегических решений;

В отличие от интервального метода, нечетко-интервальный метод аналогично методу Монте-Карло [12], формирует полный спектр возможных сценариев развития ИП, а не только нижнюю и верхнюю границы [24], таким образом, инвестиционное решение принимается не на основе двух оценок эффективности ИП, а по всей совокупности оценок.

Нечетко-интервальный метод позволяет получить ожидаемую эффективность ИП как в виде точечного значения, так и в виде множества интервальных значений со своим распределением возможностей, характеризующимся функцией принадлежности соответствующего нечеткого числа [12], что позволяет оценить интегральную меру возможности получения отрицательных результатов от ИП, т.е. степень риска ИП [25].

Нечетко-интервальный метод не требует абсолютно точного задания функций принадлежности, так как в отличие от вероятностных методов [18], результат, получаемый на основе нечетко-интервального метода, характеризуется низкой чувствительностью (высокой робастностью (устойчивостью)) к изменению вида функций принадлежности исходных нечетких чисел [1,4,12,14], что в реальных условиях низкого качества исходной информации делает применение данного метода более привлекательным;

Вычисление оценок показателей ИП на основе нечетко-интервального метода оказывается эффективным в ситуациях, когда исходная информация, основана на малых статистических выборках, т.е. в случаях, когда вероятностные оценки не могут быть получены, что всегда имеет место при предварительной оценке долгосрочных инвестиций и достаточно часто — при последующем перспективном анализе, проводимом при отсутствии достаточной информационной базы [12,29];

Реализация нечетко-интервального метода на основе интервальной арифметики, предоставляет широкие возможности для применения данного метода в инвестиционном анализе, что обусловлено фактически отсутствием конкурентоспособных подходов к созданию надежного (в смысле гарантированности) и транспортабельности (по включению) инструментального средства для решения численных задач [1].

Характеризуется простотой выявления экспертных знаний [12,27];

Также нечетко-интервальный подход имеет преимущества в решении задач формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов. Для решения задачи формирования оптимального портфеля ИП разработано большое количество моделей формирования оптимального портфеля ИП [5,6,29], отличающихся друг от друга видом целевых функций, свойствами переменных, используемыми математическими методами, учетом неопределенности. Как правило, для решения данной задачи используется аппарат линейного математического программирования в условиях определенности исходной информации: задача формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств. Например,

, при ограничениях , , , (1.5)

где — заданное множество альтернатив, и — заданные функции.

В качестве параметров целевой функции для задачи формирования оптимального портфеля ИП используются различные интегральные показатели эффективности ИП, однако, несмотря на определенные преимущества и недостатки каждого из показателей, многие исследователи склоняются к тому, что наиболее предпочтительным представляется использование NPV в качестве параметров целевой функции [6,8,9], прежде всего потому, что NPV обладает свойством аддитивности, что дает возможность оценить доходность всего портфеля ИП как сумму доходностей отдельных ИП, образующих данный портфель. Возможны различные варианты постановки задачи формирования оптимального портфеля ИП. Чаще всего, экономический смысл целевой функции состоит в максимизации экономического эффекта от инвестиционной деятельности, а смысл ограничений , налагаемых на множество допустимых решений задачи, отражает ограниченность денежных средств с учетом возможности различных бюджетных ограничений для каждого из временных отрезков действия проекта.

Так как стратегические решения, в том числе связанные с формированием оптимального портфеля инвестиционных проектов, направлены на долгосрочную перспективу и, следовательно, по своей природе сопряжены со значительной неопределенностью, а также имеют значительную субъективную составляющую, поэтому применение нечеткого математического программирования к решению задачи формирования оптимального портфеля ИП обладает многими преимуществами [8,9].

В качестве примера можно рассмотреть ситуацию, в которой множество допустимых альтернатив (инвестиционных проектов) представляет собой совокупность всевозможных способов распределения ресурсов, которые ЛПР собирается вложить с целью формирования оптимального инвестиционного портфеля. Очевидно, что, в этом случае, нецелесообразно заранее вводить четкую границу для множества допустимых альтернатив (например, четких ограничений на размер инвестиционного бюджета предприятия в период ), поскольку может случиться так, что распределения ресурсов (инвестиционные проекты), незначительно лежащие за этой границей (т.е. вне ограничений), дадут эффект, «перевешивающий» меньшую желательность (например, по размеру инвестиционных затрат) этих распределений для ЛПР. Таким образом, нечеткое описание оказывается более адекватным реальности, чем в определенном смысле произвольно принятое четкое описание задачи [8,9].

Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования (НМП) [8,9].

Таким образом, сравнительный анализ традиционных методов оценки эффективности долгосрочных инвестиций, существующих методов формирования оптимального портфеля ИП и нечетко-интервального метода показал, что ТНМ является одной из наиболее эффективных математических теорий, направленных на формализацию и обработку неопределенной информации и во многом интегрирующей известные подходы и методы. ТНМ в очередной раз подтверждает широко известную исследователям истину: применяемый формальный аппарат по своим потенциальным возможностям и точности должен быть адекватен семантике, и соответствовать точности используемых исходных данных. Поэтому методы математического анализа эффективно применяются при точных исходных данных. Математическая статистика и теория вероятностей используют экспериментальные данные, обладающие строго определенной точностью и достоверностью. Теория нечетких множеств позволяет обрабатывать разнородную информацию [12,13,14], характерную для реальных задач инвестиционного анализа.

Библиографический список литературы

Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. — Тюмень: Изд-во ТГУ, 2000. — 352 с.

Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. — М.: ЮНИТИ, 1997. — 345 с.

Бланк И.А., Основы финансового менеджмента. Т.2. — К.: Ника-Центр, Эльга, 2001. – 512 с.

Борисов А.Н., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М: Радио и связь. 1989. – 304с.

Бузырев В.В., Васильев В.Д., Зубарев А.А. Выбор инвестиционных решений и проектов: оптимизационный подход. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 1999. – 224 с.

Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. — М.: Дело, 2004. – 888 с.

Вощинин А.П. Задачи анализа с неопределенными данными – интервальность и/или случайность? // Интервальная математика и распространение ограничений: Рабочие совещания. – МКВМ-2004, с. 147-158.

Деревянко П.М. Элементы нечеткой логики при формировании инвестиционного портфеля // Экономика и инфокоммуникации в XXI веке: Труды II -й международной научно-практической конференции. 24-29 ноября 2003г. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. — с. 317-319.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/ E — mail : paveldrn @ mail . ru

Деревянко П.М. Нечетко-логический подход к формированию инвестиционного портфеля // Инструментальные методы в экономике: Сборник научных трудов. — СПб.: СПбГИЭУ, 2004. — с. 117-123.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/ E — mail : paveldrn @ mail . ru

Деревянко П.М. Оценка риска неэффективности инвестиционного проекта с позиций теории нечетких множеств // Мягкие вычисления и измерения ( SCM ’2004): VII международная конференция 17-19 июня 2004 г. — СПб.: СПбГЭТУ, 2004. — с. 167-171.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/ E — mail : paveldrn @ mail . ru

Деревянко П.М. Применение теории нечетких множеств в финансовом и инвестиционном анализе деятельности предприятия в условиях неопределенности // Менеджмент и экономика в творчестве молодых исследователей ИНЖЭКОН — 2005. VIII научно-практическая конференция студентов и аспирантов СПбГИЭУ 19-20 апреля 2005 г.: Тезисы докладов. — СПб.: СПбГИЭУ, 2005. — с. 98-99.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/ E — mail : paveldrn @ mail . ru

Деревянко П.М. Сравнение нечеткого и имитационного подхода к моделированию деятельности предприятия в условиях неопределенности // Современные проблемы экономики и управления народным хозяйством: Сб. научн. статей. Вып. 14. – СПб.: СПбГИЭУ, 2005. — с. 289-292.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/ E — mail : paveldrn @ mail . ru

Деревянко П.М. Нечеткое моделирование деятельности предприятия и оценка риска принятия стратегических финансовых решений в условиях неопределенности // Современные проблемы прикладной информатики: I научно-практическая конференция 23-25 мая 2005 г.: Сб. докл. — СПб.: СПбГИЭУ, 2005. — с. 81-83.: Персональный сайт в Интернете. – Электрон. дан. – СПб., 2006 – Режим доступа: http:// fuzzylib .narod.ru/

Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике: Пер. с фр. — М: Радио и связь. 1990. – 288 с.: ил.

Ендовицкий Д.А. Комплексный анализ и контроль инвестиционной деятельности: методология и практика / Под ред. проф. Л.Т. Гиляровской. – М.: Финансы и статистика, 2001. — 400 с.: ил.

Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений.- В кн.: Математика сегодня. — М.: Знание, 1974, с.5-49.

Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. – М.: Мир, 1976. — 165 с.

Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. — Классика CS. 3-е изд. — СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. — 847 с.

Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 768 с.: ил.

Количественные методы в экономических исследованиях / Под ред. М.В. Грачевой и др. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 791 с.

Кофман А., Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями: Пер. с исп. – Мн.: Вышэйшая школа, 1992. — 224 с.

Кравец А.С. Природа вероятности. — М.: Мысль, 1976. — 173 с.

Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов, № ВК 477 от 21.06.99 г., утверждено Министерством экономики РФ, Министерством финансов РФ, Государственным комитетом РФ по строительству, архитектуре и жилищной политике.

Недосекин А.О. Нечетко-множественный анализ риска фондовых инвестиций. – СПб.: Типография «Сезам», 2002. – 181 с.

Недосекин А.О. Оценка риска инвестиций по NPV произвольно-нечеткой формы. – СПб., 2004.

Норткотт Д. Принятие инвестиционных решений: Пер. с англ. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 247 с.

Севастьянов П.В., Севастьянов Д.П. Оценка финансовых параметров и риска инвестиций с позиций теории нечетких множеств // «Надежные программы», 1997, №1, с. 10-19.

Федеральный закон “Об инвестиционной деятельности в РФ, осуществляемой в форме капитальных вложений” от 25 февраля 1999 г. №39-ФЗ

Царев В.В. Оценка экономической эффективности инвестиций. – СПб.: Питер, 2004. — 464 с.: ил.

Чернов В.А. Инвестиционная стратегия. — М.: ЮНИТИ-Дана, 2003.– 158 с.

Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 1028 с.

Buckley J.J. The Fuzzy Mathematics of Finance // Fuzzy Sets and Systems, 1987, N21, pp. 257-273.

Hurwicz L. Optimality Criteria for Decision Making under Ignorance // Cowles commission papers, 1951, №370.

Kahraman C., Ruan D., Tolga E. Capital Budgeting Techniques Using Discounted Fuzzy versus Probabilistic Cash Flows // Information Sciences, 2002 , № 142, pp. 57-76.

Li Calzi M. Towards a General Setting for the Fuzzy Mathematics of Finance // Fuzzy Sets and Systems, 1990, №35, pp. 265-280.

Применение теории нечетких множеств в анализе рисков инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Экономика и экономические науки»

Аннотация научной статьи по экономике и экономическим наукам, автор научной работы — Мельников Владимир Игоревич

Статья посвящена актуальной проблеме оценки сложных инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности. Рассматриваются основные методы учета рисков и подробно описываются их основные недостатки. В качестве альтернативного метода автором предлагается использование теории нечетких множеств , которая в последнее время становится все более популярна среди специалистов различного профиля. В статье показано, что теория нечетких множеств является одной из наиболее эффективных математических теорий, направленных на обработку неопределенной информации и во многом интегрирующей известные подходы и методы. Также автором была предложена математическая модель для расчета величины рисков инвестиционных проектов на основе теории нечеткости.

Похожие темы научных работ по экономике и экономическим наукам , автор научной работы — Мельников Владимир Игоревич,

Using the fuzzy sets theory in risks analysis of capital spending project

This article is consecrated on topical issues of the complicated capital spending projects valuation under risk and uncertainty. Also in this article considered main methods of risks tracking, and their central failures described in details. As an alternative method author offers using fuzzy sets theory, which became very popular recently among specialists of various prof. In this article is shown that fuzzy sets theory is one of the most effective mathematical theories, which directed to fuzzy information processing and in large measure integrates known approaches and methods. Also author offers numerical scheme for calculation of the amount of risks of capital spending projects at the nebulosity theory basis.

Текст научной работы на тему «Применение теории нечетких множеств в анализе рисков инвестиционных проектов»

ТЕМА НОМЕРА: ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Применение теории нечетких множеств в анализе рисков инвестиционных проектов

Статья посвящена актуальной проблеме оценки сложных инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности. Рассматриваются основные методы учета рисков и подробно описываются их основные недостатки. В качестве альтернативного метода автором предлагается использование теории нечетких множеств, которая в последнее время становится все более популярна среди специалистов различного профиля. В статье показано, что теория нечетких множеств является одной из наиболее эффективных математических теорий, направленных на обработку неопределенной информации и во многом интегрирующей известные подходы и методы. Также автором была предложена математическая модель для расчета величины рисков инвестиционных проектов на основе теории нечеткости.

Ключевые слова: инвестиции, оценка стоимости, нечеткие множества, учет рисков, дисконтирование.

Метод чистой приведенной стоимости (NPV — Net Present Value) в настоящее время широко применяется в мировой практике для анализа эффективности инвестиционных проектов, при оценке стоимости активов и обязательств. Данный метод, пожалуй, является наиболее распространенным в современной экономике и стал настолько привычным, что мало кто решается подвергнуть его сомнению и критике.

Тем не менее некоторые всемирно известные специалисты уже говорят о скорой кончине данного метода. Так, например, один из известных специалистов в области оценки — Том Коупленд говорит о том, что метод реальных опционов в скором времени полностью вытеснит классический метод NPV [10]. Основной причиной являются недостатки метода, проявляющиеся при оценке инвестиционных проектов.

Одним из недостатков можно считать статичность метода: так, когда производится расчет

© Мельников В.И., 2010

проекта сроком на несколько лет, прогнозные значения денежных потоков приводятся к настоящему моменту путем процедуры дисконтирования. В итоге полученная величина чистой приведенной стоимости сравнивается, скажем, с нулем или другой минимально допустимой величиной. Проблема заключается в том, что если вы принимаете участие в проекте, который реализуется с трудом, то совершенно необязательно, что проект просуществует в течение всего планируемого срока, его могут сократить или вообще свернуть. В то же время, если проект окажется удачным, то, скорее всего, его продлят или расширят. Кроме того, совершенно необязательно, что основную часть средств нужно инвестировать сразу. Иногда их требуется вкладывать через год или два, когда после реализации предварительных стадий проекта неопределенность значительно уменьшится.

В аспекте решения проблемы негибкости метода NPV революционным, безусловно, является метод реальных опционов. Однако он не устраняет других существенных недостатков метода NPV, поскольку метод опционов по своей сути — это всего лишь надстройка над классическим методом расчета чистой приведенной стоимости [2]. А у этого классического метода есть еще один существенный недостаток, который напрямую связан с учетом экономических рисков, присущих прогнозным значениям денежных потоков.

Рассмотрим природу этого недостатка более подробно. Для начала вспомним, что вся финансовая математика, в том числе и методика NPV, основывается на принципе, что сегодняшний доллар стоит больше, чем завтрашний [11]. В основе этого простого принципа лежит экономическая теория процента. Все мы знаем, что если положить деньги в банк или предоставить их в кредит, то за это банк будет выплачивать нам определенный процент.

Чтобы лучше понять суть этого процесса, необходимо знать, что деньги, являясь средством обмена, обеспечивают благосостояние только косвенно. Они сами по себе не удовлетворяют жизненных потребностей и должны быть обменены на товары или услуги. Таким образом, когда кто-либо инвестирует деньги, он отказывается от возможности получить пользу напрямую, обменяв деньги на товары и услуги. Посему ему приходится довольствоваться более низким уровнем полезности [13]. Одной из функций процента как раз и является компенсация снижения уровня полезности, которая связана с невозможностью получить выгоду немедленно.

Помимо этого, кредитор также сталкивается с неопределенностью относительно будущей стоимости денег. Количественная мера этой неопределенности называется риском. Риски могут иметь различную природу. Один из видов риска — это риск потери покупа-

тельной способности или, другими словами, инфляционный риск. Данный риск говорит о том, что за ту же сумму денег в будущем можно будет купить меньший объем благ.

Второй вид экономического риска — это риск отклонения ожидаемых величин денежного потока от действительных, причем эти отклонения имеют двойственный характер [4]. Так, для положительных потоков риск будет заключаться в недополучении дохода, а для отрицательных — в перерасходе средств [3]. Все эти риски должны быть компенсированы, поэтому второй функцией процента является компенсация рисков.

Таким образом, под риском в общем случае нужно понимать возможность наступления какого-либо неблагоприятного события, влекущего за собой финансовые потери. Для учета рисков при расчете NPV используют целый ряд методов [5]. Однако большинство из известных методов может быть отнесено всего к двум основным подходам:

• учет рисков в знаменателе формулы расчета NPV посредством корректировки ставки дисконтирования;

• учет рисков в числителе формулы расчета NPV посредством корректировки денежного потока.

Данные подходы могут быть использованы как в чистом виде, так и в комбинации. Не вдаваясь в тонкости каждого из методов, рассмотрим их общие черты в рамках обозначенных подходов.

Первый подход, подразумевающий корректировку ставки дисконтирования, является наиболее распространенным на практике. Он основывается на предпосылке, что более рисковый проект должен иметь более высокую доходность. В расчетах это отражается за счет увеличения ставки дисконтирования. Методики расчета могут быть различны (кумулятивная, CAPM, WACC), но все они заключаются в добавлении рисковой составляющей к безрисковой ставке дисконта и могут быть записаны в следующем виде:

% t 50 150 250 700 600

Денежный поток, CFt 60 50 50 -200 0

Безрисковая ставка, it 10%

Ставка с учетом риска, i’t 20%

DCF 1 (дисконтированный поток по ставке it = 10%) 54.55 41.32 37.57 -136.60 0.00

DCF 2 (дисконтированный поток по ставке i’t = 20%) 50.00 34.72 28.94 -96.45 0.00

NPV 1 (проект без риска) -3.17

NPV 2 (рисковый проект) 17.21

Как можно видеть, в данном примере мы получили несколько странные результаты, идущие вразрез со здравым смыслом. Согласно расчетам, более предпочтительным является второй проект, генерирующий тот же объем денежных поступлений, но являющийся более рисковым. Проблема здесь кроется в том, что, добавляя в ставку дисконтирования премию за риск, мы, конечно, снижаем значение чистой приведенной стоимости положительных денежных потоков, но вместе с этим увеличиваем общую стоимость проекта за счет уменьшения по абсолютной величине отрицательных потоков. Таким образом, мы отражаем в наших расчетах не риск, а, наоборот, выигрыш.

Основываясь на подобных рассуждениях, можно прийти к выводу, что необходимо использовать различные ставки дисконтирования для положительных и для отрицательных денежных потоков или какие-либо другие ухищрения, что само по себе является нетривиальной задачей, решение которой еще не гарантирует получения адекватных результатов [1, 6].

Второй подход к учету экономического риска, как мы уже отмечали ранее, подразумевает корректировку денежного потока. Данный подход заключается в учете вероятностей возникновения тех или иных денежных потоков и в общем виде может быть представлен следующим образом:

где р, — вероятность возникновения потока СР, за период времени ,;

¡, — безрисковая годовая ставка дисконтирования в период ,;

N — продолжительность прогнозного периода.

Проблема, возникающая при использовании данного подхода, кроется в самом определении вероятности, значение которой, как известно, изменяется в пределах [0, 1]. Умножение отрицательного значения СР, на число меньше единицы и больше нуля приводит к уменьшению значения СР, по модулю, в то время как для учета риска необходимо производить обратую операцию, то есть увеличивать значение планируемых расходов (рис. 1).

СР(-), СР(-), ■ р 0 СР(+), ■ р СР(+),

р е [0, 1] р е [0, 1]

(с поправкой на риск)

Рис. 1. Ошибка при учете рисков отрицательных денежных потоков

И это отнюдь не какой-то частный случай. Если вспомнить, что чистый денежный поток является разницей между притоками и оттоками, то очевидно, что даже при положительном значении чистого денежного потока, его отдельные элементы — оттоки не только не корректируются на риск, но, наоборот, получают некую премию. В данном случае мы получаем учет вероятности возникновения тех или иных потоков, но отнюдь не учитываем присущий этим потокам экономический риск. Как можно видеть, в данном случае математика полностью идет вразрез с экономикой.

Кроме того, применение вероятностного подхода основывается на предпосылке, что финансовые показатели формируются случайным образом, что не совсем верно в случае оценки инвестиционных проектов. Да и сама теория вероятности если и применима, то только для исследования больших групп однородных случайных событий. Если же говорить о решении слабо структурированных задач, к которым относятся исследуемые нами, то однородностью они, как правило, не обладают. Каждый проект по-своему уникален и, более того, каждый существует в неодинаковых внешних условиях.

Поэтому, чем в меньшей степени статистически обусловлены те или иные параметры, тем менее может быть обосновано применение любых типов вероятностей в инвестиционном анализе [7]. Отсюда и проблемы с использованием вероятностных подходов, в том числе и подходов на основе реальных опционов.

Таким образом, при оценке любых активов по методу дисконтированных денежных потоков основной проблемой становится неопределенность, связанная с прогнозными значениями денежных потоков. При этом самые распространенные подходы к учету неопределенности зачастую не справляются со своей задачей. Вследствие этого в последнее время все больше и больше специалистов склоняются к применению альтернативных методик расчета экономических показателей. Одной из таких популярных методик стала методика, основанная на применении теории нечетких множеств.

Начало современной теории нечеткости было положено в 1965 году американцем Лотфи А. Заде [8]. Он рассматривал эту теорию как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, то есть систем, в которых участвует человек. Предложенный им подход опирался на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых множеств, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен.

Чтобы пояснить эту идею, давайте обратимся к рассмотрению основ теории множеств. По определению, множество — это совокупность каких-либо объектов (элементов), обладающих общими

свойствами. Традиционно любое множество может быть определено входящими в него элементами. В обычной теории множеств принадлежность любого элемента х некому множеству А может быть представлена двумя значениями: 1 — принадлежит или 0 — не принадлежит. А само утверждение о том, что элемент x входит или не входит в множество А, может быть выражено при помощи так называемой функции принадлежности ц(х), имеющей следующий вид:

В реальной же жизни такая четкая принадлежность встречается редко и зачастую невозможно дать однозначный ответ о вхождении того или иного объекта в некое множество. Примером могут служить множество молодых людей, множество высоких процентных ставок и другие подобные. Решение этой проблемы, которое предложил Лотфи Заде, заключается в том, чтобы расширить булеву логику и характеризовать принадлежность элемента множеству с некой степенью достоверности [9]. В таком случае функция принадлежности ц(х) может принимать любые значения на отрезке [0, 1].

В каждом конкретном случае функция принадлежности может принимать различный вид. Например, график А (рис. 2) иллюстрирует функцию принадлежности для множества молодой человек, а график Б — функцию принадлежности для множества высокая процентная ставка.

Однако для расчетов удобнее использовать нечеткие множества со строго определенной функцией принадлежности. Например, такой, как показано на рисунке 3. Множества, задаваемые подобной характеристической функцией треугольного вида, принято называть треугольными нечеткими числами.

Треугольное нечеткое число записывается в виде A = (атП, аср, атах) и отвечает высказыванию: «элементы множества А приблизительно

Рис. 2. Примеры графиков функций принадлежности

Рис. 3. График функции принадлежности треугольного нечеткого числа

равны аср и однозначно находятся в диапазоне [атЫ, атах]». Аргументы атЫ, аср атах называют значимыми точками нечеткого числа А. При описании экономической модели при помощи нечетких чисел значимые точки можно интерпретировать как пессимистический, наиболее возможный и оптимистический сценарии развития ситуации.

Алгебраические операции с треугольными нечеткими числами сводятся к действиям с границами их интервалов. Так, для двух независимых треугольных нечетких чисел А и В с интервалами принадлежности [атп атах] и ^тП Ьтах] должны выполняться следуюЩие

• правило сложения: атт, атах] + [ЬтП Ьтах] = [атП + ЬтП

• правило вычитания: атп, атах] — Кп Ьтах] = атп — bmax,

пРавило умножения: [атіп’ атах] Х [Ьтш’ Ьтах] = [атіп Х Ьтт>

пРавило Деления: [атгп, атах] — [ЬтП Ьтах] = [атіп — Ь

• правило возведения в степень: [атп атах] = атп!, атаЛ Логика этих правил проста. Если значение числа А может изменяться в пределах [атп атах] а значение В — в пределах bmin, Ьтах^

то при осуществлении операции сложения этих чисел максимальный размах полученного интервала составит атШ + Ьтп атах + Ьтах]

Соответственно, при операции вычитания максимальный интервал

может составить атп — bmax, атах — Ьтт] поскольку наименьшее значение нижней границы результирующего интервала получится

только при атЫ и Ьтах, а наибольшее значение возможно лишь при

атах и Ьт(п (рис. 4). Аналогичные рассуждения справедливы и для остальных операций.

Однако для зависимых треугольных нечетких чисел перечисленные выше правила выполняться не будут [12]. Дело в том, что алгебраические операции с независимыми числами призваны увеличивать степень неопределенности (размытость), присущую рассматриваемым параметрам, в то время как при выполнении тех же операций с зависимыми числами неопределенность возрастать не должна. В случае с зависимыми числами речь идет не о размывании границ результирующего интервала, а только о смещении этих границ в одинаковом направлении.

Так, например, если величина заработной платы работников пропорциональна объему выполняемых работ и выручка, в свою очередь, также зависит от объема проделанных работ, то очевидно, что при расчете прибыли из максимального значения выручки следует вычитать максимальное значение заработной платы (рис. 5). Поскольку максимальное значение заработной платы (15 тыс. руб.,

Выручка (А), тыс. руб. А = 15

А = 5 г’—-«‘ Заработная плата (В), тыс. руб.

10 15 А О т. 1-чж/Л А = 20

Рис. 4. Результат вычитания независимых треугольных нечетких чисел

Выручка (А), тыс. руб. А = 15

А = 5 ‘Заработная плата (В), тыс. руб.

А — В, тыс. руб. А = 10

Рис. 5. Результат вычитания зависимых треугольных нечетких чисел

рис. 5) соответствует ситуации, когда проделан максимальный объем работ и получена максимальная выручка (45 тыс. руб., рис. 5).

Если в расчетах встречаются как зависимые, так и независимые величины, то алгоритм расчета удобнее разбить на два этапа. На первом этапе произвести операции со всеми зависимыми и четкими числами. Четкие числа при этом представляют собой частный случай треугольных нечетких чисел при атЫ = аср = атах. А на втором этапе, используя правила нечеткой арифметики, произвести расчеты со всеми независимыми величинами.

Нечеткие числа являются достаточно удобным средством моделирования экономических процессов с неоднозначными, не вероятностными параметрами. Использование интервалов достоверности позволяет описать неопределенность присущую прогнозным значениям показателей, более естественным путем. При этом в отличие от сценарного подхода, анализу подлежат не просто три возможных сценария (пессимистичный, средний и оптимистичный), а весь спектр возможных исходов.

При использовании нечетких множеств формула расчета ИРУ трансформируется следующим образом:

[NPVmin, NPVcp, NPVmax] — £

[CFt min’ CFt ср, CFt max]

ср’ vmaxJ (1 + [.- ; ; ])t

t= 1 ‘ L t min* ‘t ср ‘t max-i’

N ер N CF N CF i

— [ V min y1 CFt ср у1 CFt max ]

= L t-l (1 + it max])» ¿I (1 + it с/’ £ (1 +t min)t J’

где CFt — суммарный денежный поток за период времени t;

it — безрисковая годовая ставка дисконтирования в период t; N — продолжительность прогнозного периода.

В результате расчетов мы получаем треугольное нечеткое значение показателя NPV = (NPVmin, NPVcp, NPVmax).

При этом учитывать неопределенность и связанные с ней риски в ставке дисконтирования уже не представляется необходимым, так как они полностью отражены в интервалах используемых показателей. Кроме того, данный инструментарий дает возможность производить точную оценку риска проекта достаточно простым и наглядным путем. Рассмотрим это более подробно.

Для упрощения записи дальнейших математических выкладок введем следующую систему обозначений:

N1 = NPVmin — нижняя граница интервала нечеткого числа NPV;

N = NPVcP — среднее значение NPV;

N2 = NPVmax — верхняя граница интервала нечеткого числа NPV;

W — четкий критерий эффективности проекта, то есть критерий, ниже которого проект считается невыгодным.

Поскольку результат расчета NPV, как уже было показано ранее, представляет собой треугольное нечетное число, то при соотношении его с критерием эффективности Ж образуется четыре возможных случая (рис. 6), в каждом из которых степень риска будет определяться индивидуально.

В случае А (рис. 6), когда Ж

Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-52970

Использование теории нечетких множеств в экономическом анализе инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Кибернетика»

Аннотация научной статьи по кибернетике, автор научной работы — Файзиев Р.А., Хаитматов У.Т., Азаматов О.Х., Джуманиязов Ш.Р., Хасанова Х.Х.

The article outlines the main features of the use of the theory of indefinite bundles in the evaluation of the cost-effectiveness of investment projects. He analysis of methods for quantifying the effectiveness of the IP under uncertainty suggests that the existing methods either eliminate the uncertainty from the IP model, which is inappropriate, since uncertainty is an integral characteristic of any forecast, or are unable to formally describe, and take into account all possible varieties of types of uncertainty . Methods based on the theory of fuzzy sets refer to the methods of evaluation and decision-making under conditions of uncertainty . Their use implies the formalization of the initial parameters and performance targets of the IP in the form of a vector of interval values ( fuzzy interval), the hit in each interval of which is characterized by a certain degree of uncertainty . Also, the fuzzy-interval approach has advantages in solving the problems of forming an optimal portfolio of investment projects. To solve the problem of forming an optimal IP portfolio, a large number of models for the formation of an optimal IP portfolio have been developed, differing from each other in the form of objective functions, variable properties, used by mathematical methods, and uncertainty .

Похожие темы научных работ по кибернетике , автор научной работы — Файзиев Р.А., Хаитматов У.Т., Азаматов О.Х., Джуманиязов Ш.Р., Хасанова Х.Х.,

Текст научной работы на тему «Использование теории нечетких множеств в экономическом анализе инвестиционных проектов»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Файзиев Р. А. к. физ. — мат. н., 1Хаитматов У. Т. к. т. н., 1Азаматов О. Х. к. э. н., 1Джуманиязов Ш. Р., Хасанова Х. Х.

Узбекистан, г. Ташкент, Ташкентский государственный экономический университет 2Узбекистан, Ташкентская область, Алмаликский филиал Ташкентского технического университета имени Ислама Каримова

Received 18 April 2018 Accepted 21 May 2018 Published 01 June 2018

mathematical apparatus © 2018 The Authors.

The article outlines the main features of the use of the theory of indefinite bundles in the evaluation of the cost-effectiveness of investment projects. He analysis of methods for quantifying the effectiveness of the IP under uncertainty suggests that the existing methods either eliminate the uncertainty from the IP model, which is inappropriate, since uncertainty is an integral characteristic of any forecast, or are unable to formally describe, and take into account all possible varieties of types of uncertainty. Methods based on the theory of fuzzy sets refer to the methods of evaluation and decision-making under conditions of uncertainty. Their use implies the formalization of the initial parameters and performance targets of the IP in the form of a vector of interval values (fuzzy interval), the hit in each interval of which is characterized by a certain degree of uncertainty. Also, the fuzzy-interval approach has advantages in solving the problems of forming an optimal portfolio of investment projects. To solve the problem of forming an optimal IP portfolio, a large number of models for the formation of an optimal IP portfolio have been developed, differing from each other in the form of objective functions, variable properties, used by mathematical methods, and uncertainty.

Введение. Как известно, процесс инвестирования играет важную роль в экономике любой страны. Инвестирование в значительной степени определяет экономический рост государства, занятость населения и составляет существенный элемент базы, на которой основывается экономическое развитие общества. Поэтому проблема, связанная с эффективным осуществлением инвестирования, заслуживает серьезного внимания.

Инвестиционная деятельность представляет собой один из наиболее важных аспектов функционирования любой коммерческой организации. Причинами, обусловливающими необходимость инвестиций, являются обновление имеющейся материально-технической базы, наращивание объемов производства, освоение новых видов деятельности.

Значение анализа для планирования и осуществления инвестиционной деятельности очень важно. При этом особую важность имеет предварительный анализ, который проводится на стадии разработки инвестиционных проектов и способствует принятию разумных и обоснованных управленческих решений.

Весьма часто предприятие сталкивается с ситуацией, когда имеется ряд альтернативных (взаимоисключающих) инвестиционных проектов.

Естественно, возникает необходимость в сравнении этих проектов и выборе наиболее привлекательных из них по каким-либо критериям.

В инвестиционной деятельности существенное значение имеет фактор риска. Инвестирование всегда связано с иммобилизацией финансовых ресурсов предприятия и обычно осуществляется в условиях неопределенности, степень которой может значительно варьировать.

Результаты исследования. Исследование показывает что, обширная практика проведения реальных прогнозных расчетов инвестиционных проектов (ИП) свидетельствует о необходимости всестороннего учета различных видов неопределенности при оценке, планировании и управлении инвестиционными проектами. Действительность такова, что влияние факторов неопределенности на ИП приводит к возникновению непредвиденных

ситуаций, приводящих к неожиданным потерям, убыткам, даже в тех проектах, которые первоначально признаны экономически целесообразными для предприятия, поскольку не учтенные в ИП негативные сценарии развития событий, пусть и малоожидаемые, тем не менее, могут произойти и сорвать реализацию инвестиционного проекта [1,2]. Учет неопределенности информации и его эффективность напрямую зависят от выбора математического аппарата, определяемого математической теорией. Этап обоснования и выбора математического аппарата, обеспечивающего приемлемую формализацию неопределенности и адекватное решение задач, возникающих при управлении реальными инвестициями, является крайне важным. Необоснованный и как, следствие, не правильный выбор математического аппарата, в основном, приводит к неадекватности созданных математических моделей, получению неверных результатов в процессе их применения и, соответственно, возникает недоверие к полученным результатам, и игнорируются выводы на их основе.

Выше проведенный анализ методов количественной оценки эффективности ИП в условиях неопределенности позволяет сделать вывод, что существующие методы, либо элиминируют неопределенность из модели ИП, что неправомерно, так как неопределенность является неотъемлемой характеристикой любого прогноза, либо неспособны формально описать, и учесть все возможное разнообразие видов неопределенности. Подавляющее большинство методов формализует неопределенности лишь в качестве распределений вероятностей, построенных на основе субъективных экспертных оценках, что в очень большом количестве случаев является явно идеализированным. Таким образом, в данных методах неопределенность, независимо от ее природы, отождествляется со случайностью [2], и поэтому они не позволяют учесть все возможное разнообразие видов неопределенностей, воздействующих на ИП. Как уже отмечалось, использование вероятностного подхода в инвестиционном анализе затрудняется причинами, связанными с отсутствием статистической информации или малым (недостаточным) размером выборки по некоторым из параметров ИП, что обусловлено уникальностью каждого ИП. Кроме того, точность оценки вероятностей (объективных и субъективных) зависит от множества факторов, начиная от качества статистической информации и заканчивая качеством экспертных оценок, поэтому и качество результирующей оценки эффективности и риска ИП слишком сильно зависит от них, что послужило росту недоверия к получаемым на их основе прогнозным оценкам и решениям. В связи с этим среди топ-менеджеров, банкиров, финансистов сложилось мнение, что подавляющее большинство прогнозных расчетов слишком идеализированы и далеки от практики. Многие предпочитают работать на основе опыта и интуиции. Это обусловлено, в том числе следующими основными причинами [3]:

— спецификой предметной области исследования, так как она находится на стыке современной прикладной математики, экономики и психологии;

— относительной новизной и недостаточной проработанностью математических методов анализа ИП в условиях неопределенности;

— низкой осведомленностью топ-менеджеров предприятий и специалистов в области финансов о новых математических подходах формализации и одновременной обработки разнородной информации (детерминированной, интервальной, лингвистической, статистической) и о возможностях построения на базе этих подходов специализированных методик.

Обширный опыт исследователей убедительно свидетельствует о том, что вероятностный подход не может быть признан надежным и адекватным инструментом решения слабоструктурированных задач [4], к которым принадлежат и задачи управления реальными инвестициями. В принципе, любая попытка использования статистических методов для решения такого рода задач есть не что иное, как редукция к хорошо структурированным (хорошо формализованным) задачам, при этом такого рода редукция существенно искажает исходную постановку задачи. Ограничения и недостатки применения «классических» формальных методов при решении слабоструктурированных задач являются следствием сформулированного основоположником теории нечетких множеств Л.А. Заде [5] «принципа несовместимости»: «. чем ближе мы подходим к решению проблем реального мира, тем очевиднее, что при увеличении сложности системы наша способность делать точные и уверенные заключения о ее поведении уменьшаются до определенного порога, за которым точность и уверенность становятся почти взаимоисключающими понятиями» [6].

Поэтому некоторыми исследователями разрабатываются методы оценки эффективности и риска инвестиционных проектов на основе аппарата теории нечетких множеств (ТНМ) [6]. В данных методах вместо распределения вероятности применяется распределение возможности, описываемое функцией принадлежности нечеткого числа.

Методы, базирующиеся на теории нечетких множеств, относятся к методам оценки и принятия решений в условиях неопределенности. Их использование предполагает

формализацию исходных параметров и целевых показателей эффективности ИП в виде вектора интервальных значений (нечеткого интервала), попадание в каждый интервал которого, характеризуется некоторой степенью неопределенности. Осуществляя арифметические и др. операции с такими нечеткими интервалами по правилам нечеткой математики, эксперты и лица принимаемых решений получают результирующий нечеткий интервал для целевого показателя. На основе исходной информации, опыта, и интуиции эксперты часто могут достаточно уверенно количественно охарактеризовать границы (интервалы) возможных (допустимых) значений параметров и области их наиболее возможных (предпочтительных) значений.

Также к методам, базирующихся на теории нечетких множеств, можно, в качестве частного случая, отнести давно и широко известный интервальный метод [4]. Данный метод соответствует ситуациям, когда достаточно точно известны лишь границы значений анализируемого параметра, в пределах которых он может изменяться, но при этом отсутствует какая-либо количественная или качественная информация о возможностях или вероятностях реализации различных его значений внутри заданного интервала. В соответствии с данным методом, входные переменные ИП задаются в виде интервалов, функции принадлежности которых, являются классическими характеристическими функциями множества, поэтому далее возможно прямое применение правил нечеткой математики для получения результирующего показателя эффективности ИП в интервальном виде. В интервальном методе за уровень (степень) риска предлагается принимать размер максимального ущерба, приходящегося на единицу неопределенности, т.е.:

где qN — требуемое значение параметра;

qmin — минимальное значение параметра;

qmax — максимальное значение параметра;

P — уровень (степень) риска, или отношение расстояния от требуемой величины до ее минимального (максимального) значения к интервалу между ее максимальным и минимальным значениями.

Конкретный вариант выражения (1)-(2) зависит от используемого критерия эффективности. Например, для оценки риска ИП по критерию Чистая приведённая стоимость (ЧПС, чистая текущая стоимость, чистый дисконтированный доход, ЧДД, англ. Net present value, принятое в международной практике для анализа инвестиционных проектов сокращение — NPV) — это сумма дисконтированных значений потока платежей, приведённых к сегодняшнему дню необходимо использовать выражение (1), по критерию Direct Participation Program (DPP-программа прямого участия) — (2). Такой способ определения риска полностью согласуется с геометрическим определением вероятности, однако при предположении, что все события внутри отрезка [qmin : qmax ] равновероятны. Очевидно, что данное предположение нельзя назвать отражающим реальную действительность.

При наличии дополнительной информации о значениях параметра внутри интервала, когда, например, известно, что значение a более возможно, чем b, математическая формализация неопределенностей может быть адекватно реализована с помощью нечетко-интервального подхода. При использовании математического аппарата ТНМ экспертам необходимо формализовать свои представления о возможных значениях оцениваемого параметра ИП в терминах задания характеристической функции (функции принадлежности) множества значений, которые он может принимать. При этом от экспертов требуется указать множество тех значений, которые, по их мнению, оцениваемая величина не может принять (для них характеристическая функция равна 0), а затем, проранжировать множество возможных значений по степени возможности (принадлежности к данному нечеткому множеству). После того как формализация входных параметров инвестиционного проекта произведена, можно рассчитать распределение возможности f (y) выходного параметра (показателя эффективности ИП) y по «а -уровнему принципу обобщения» или «принципу обобщения Заде» [6] :

где (x* ) — возможность того, что нечеткая величина Xt

f (*;,x**. x*) = y’ — функциональная зависимость выходного параметра ИП от входных параметров.

Ниже перечислены основные преимущества нечетко-интервального подхода к оценке эффективности и риска инвестиционных проектов по сравнению с вышеперечисленными методами [4]:

1. Данный подход позволяет формализовать в единой форме и использовать всю доступную неоднородную информацию (детерминированную, интервальную, статистическую, лингвистическую), что повышает достоверность и качество принимаемых стратегических решений;

2. В отличие от интервального метода, нечетко-интервальный метод аналогично методу Монте-Карло, формирует полный спектр возможных сценариев развития ИП, а не только нижнюю и верхнюю границы, таким образом, инвестиционное решение принимается не на основе двух оценок эффективности ИП, а по всей совокупности оценок.

3. Нечетко-интервальный метод позволяет получить ожидаемую эффективность ИП как в виде точечного значения, так и в виде множества интервальных значений со своим распределением возможностей, характеризующимся функцией принадлежности соответствующего нечеткого числа, что позволяет оценить интегральную меру возможности получения отрицательных результатов от ИП, т.е. степень риска ИП.

4. Нечетко-интервальный метод не требует абсолютно точного задания функций принадлежности, так как в отличие от вероятностных методов, результат, получаемый на основе нечетко-интервального метода, характеризуется низкой чувствительностью (высокой робастностью (устойчивостью)) к изменению вида функций принадлежности исходных нечетких чисел, что в реальных условиях низкого качества исходной информации делает применение данного метода более привлекательным;

5. Вычисление оценок показателей ИП на основе нечетко-интервального метода оказывается эффективным в ситуациях, когда исходная информация, основана на малых статистических выборках, т.е. в случаях, когда вероятностные оценки не могут быть получены, что всегда имеет место при предварительной оценке долгосрочных инвестиций и достаточно часто — при последующем перспективном анализе, проводимом при отсутствии достаточной информационной базы;

6. Реализация нечетко-интервального метода на основе интервальной арифметики, предоставляет широкие возможности для применения данного метода в инвестиционном анализе, что обусловлено фактически отсутствием конкурентоспособных подходов к созданию надежного (в смысле гарантированности) и транспортабельности (по включению) инструментального средства для решения численных задач.

7. Характеризуется простотой выявления экспертных знаний.

Также нечетко-интервальный подход имеет преимущества в решении задач формирования оптимального портфеля инвестиционных проектов. Для решения задачи формирования оптимального портфеля ИП разработано большое количество моделей формирования оптимального портфеля ИП, отличающихся друг от друга видом целевых функций, свойствами переменных, используемыми математическими методами, учетом неопределенности. Как правило, для решения данной задачи используется аппарат линейного математического программирования в условиях определенности исходной информации: задача формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств [6]. Например,

f (x) ^ max, при ограничениях ф< (x)

Свидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-52970

Источники: http://works.doklad.ru/view/MUqLQjdwUb0/3.html, http://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-teorii-nechetkih-mnozhestv-v-analize-riskov-investitsionnyh-proektov, http://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-teorii-nechetkih-mnozhestv-v-ekonomicheskom-analize-investitsionnyh-proektov

Источник: invest-4you.ru